(1,5 điểm) Đoạn đường \(AB\) dài \(275\,\,{\mkern 1mu} {\rm{km}}\). Cùng một lúc, một ô tô chạy từ \(A\) và một xe máy chạy từ \(B\), đi ngược chiều để gặp nhau. Vận tốc ô tô là \(60{\mkern 1mu} \,\,{\rm{km/h}}\); vận tốc của xe máy là \(50{\mkern 1mu} \,\,{\rm{km/h}}\). Đến khi gặp nhau thì mỗi xe đã đi được một quãng đường là bao nhiêu?

a) Học sinh vẽ lại hình theo đúng số đo các góc.

b) Ta có \[\widehat {xAC} + \widehat {BAC} = 180^\circ \] (hai góc kề bù)

               \[\widehat {xAC} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \]

Tia \(Ay\) là tia phân giác của \[\widehat {CAx}\] nên \(\widehat {xAy} = \widehat {CAy} = \frac{1}{2}\widehat {xAC} = 40^\circ \).

b) Ta có \[\widehat {CAy} = \widehat {ACB}\] (cùng bằng \[40^\circ \])

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(Ay\,{\rm{//}}\,BC\).

Do \(Ay\,{\rm{//}}\,BC\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {xAy} = 40^\circ \) (hai góc đồng vị).

Từ dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{x}{{y + z + t}} = \frac{y}{{z + t + x}} = \frac{z}{{t + x + y}} = \frac{t}{{x + y + z}}\) ta có:

\(\frac{x}{{y + z + t}} + 1 = \frac{y}{{z + t + x}} + 1 = \frac{z}{{t + x + y}} + 1 = \frac{t}{{x + y + z}} + 1\)

Suy ra \(\frac{{x + y + z + t}}{{y + z + t}} = \frac{{y + z + t + x}}{{z + t + x}} = \frac{{z + t + x + y}}{{t + x + y}} = \frac{{t + x + y + z}}{{x + y + z}}\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Trường hợp 1:

Nếu \(x + y + z + t = 0\) thì \(x + y = - z - t\); \(y + z = - t - x\); \(z + t = - x - y\); \(t + x = - y - z\).

Khi đó \[P = \frac{{x + y}}{{z + t}} + \frac{{y + z}}{{t + x}} + \frac{{z + t}}{{x + y}} + \frac{{t + x}}{{y + z}}\]

               \[ = \frac{{ - z - t}}{{z + t}} + \frac{{ - t - x}}{{t + x}} + \frac{{ - x - y}}{{x + y}} + \frac{{ - y - z}}{{y + z}}\]

               \( = \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) = - 4 \in \mathbb{Z}\).

Trường hợp 2:

Nếu \(x + y + z + t \ne 0\) thì từ \(\left( * \right)\) ta suy ra \(y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z\)

Do đó \(x = y = z = t\).

Khi đó \[P = \frac{{x + y}}{{z + t}} + \frac{{y + z}}{{t + x}} + \frac{{z + t}}{{x + y}} + \frac{{t + x}}{{y + z}}\]

                \( = \frac{{x + x}}{{x + x}} + \frac{{x + x}}{{x + x}} + \frac{{x + x}}{{x + x}} + \frac{{x + x}}{{x + x}} = 4 \in \mathbb{Z}\)

Vậy \[P = \frac{{x + y}}{{z + t}} + \frac{{y + z}}{{t + x}} + \frac{{z + t}}{{x + y}} + \frac{{t + x}}{{y + z}}\] có giá trị nguyên.