(2,0 điểm) Cho hình vẽ. Biết \(Ax\,{\rm{//}}\,a\).

a) Vẽ lại hình (đúng số đo các góc) và viết giả thiết, kết luận của bài toán.

b) Tính số đo của \(\widehat {BAD}\) và \(\widehat {DAE}\).

c) Chứng minh \(AD\) là tia phân giác của góc \(BAE\).

d) Lấy điểm \(F\) nằm khác phía đối với điểm \(D\) so với đường thẳng \(EC\) sao cho \(\widehat {CAF} = 65^\circ \). Chứng minh ba điểm \(A,\,D,\,F\) thẳng hàng.

a) Học sinh vẽ lại hình theo đúng số đo các góc.

b) Do \[Ax\,{\rm{//}}\,a\] nên \(\widehat {BAD} = \widehat {ABC} = 65^\circ \) (hai góc so le trong).

Ta có \(\widehat {BAC} + \widehat {BAD} + \widehat {DAE} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {DAE} = 180^\circ - \widehat {BAC} - \widehat {BAD} = 180^\circ - 50^\circ - 65^\circ = 65^\circ \).

c) Do \(\widehat {BAD} = \widehat {DAE}\) (cùng bằng \(65^\circ \)) mà tia \(AD\) nằm giữa hai tia \(AB\) và \(AE\)

Suy ra tia \(AD\) là tia phân giác của góc \(BAE\).

d) Cách 1:

Ta có \[\widehat {DAF} = \widehat {DAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAF} = 65^\circ + 50^\circ + 65^\circ = 180^\circ \].

Do đó \(\widehat {DAF} = 180^\circ \) là góc bẹt, hay tia \(AD\) và tia \(AF\) là hai tia đối nhau.

Suy ra ba điểm \(A,\,D,\,F\) thẳng hàng.

Cách 2:

Do \[Ax\,{\rm{//}}\,a\] nên \(\widehat {BCA} = \widehat {DAE} = 65^\circ \) (hai góc đồng vị)

Do đó \[\widehat {CAF} = \widehat {BCA}\] (cùng bằng \(65^\circ \))

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AF\,{\rm{//}}\,a\)

Ta có: qua điểm \(A\) có hai đường thẳng \[AD\] và \(AF\) cùng song song với \(a\) nên theo Tiên đề Euclid ta có hai đường thẳng \[AD\] và \(AF\) trùng nhau.

Vậy ba điểm \(A,\,D,\,F\) thẳng hàng.