(0,5 điểm) Tìm các giá trị nguyên \(x,y\) thỏa mãn \(3{\left( {x - 2023} \right)^2} + {y^2} = 16\).

Ta có: \(3{\left( {x - 2023} \right)^2} + {y^2} = 16\)

Suy ra \(3{\left( {x - 2023} \right)^2} = 16 - {y^2}\)

• Với mọi \(x \in \mathbb{Z}\) ta có \(3{\left( {x - 2023} \right)^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow 16 - {y^2} \ge 0\) với mọi \(y \in \mathbb{Z}\)

\( \Rightarrow {y^2} \le 16\) với mọi \(y \in \mathbb{Z}\)

• Do \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(3{\left( {x - 2023} \right)^2} \vdots 3\)

\( \Rightarrow \left( {16 - {y^2}} \right) \vdots 3\) hay \(\left( {{y^2} - 16} \right) \vdots 3\)

Do đó \({y^2}\) chia \(3\) dư \(1\)

Từ đó ta có \({y^2}\) là số chính phương thỏa mãn \({y^2} \le 16,{y^2}\) chia \(3\) dư \(1\)

Suy ra \({y^2} \in \left\{ {1;4;16} \right\}\)

• Với \({y^2} = 1\) ta có \(3{\left( {x - 2023} \right)^2} = 16 - 1 = 15\)

                               \({\left( {x - 2023} \right)^2} = 5\) (loại vì \(x \in \mathbb{Z}\))

• Với \({y^2} = 4\) ta có \(3{\left( {x - 2023} \right)^2} = 16 - 4 = 12\)

                                \({\left( {x - 2023} \right)^2} = 4\)

                   Suy ra \(x - 2023 = 2\) hoặc \(x - 2023 = - 2\)

                   Do đó \(x = 2025\) hoặc \(x = 2021\).

Từ \({y^2} = 4\) suy ra \(y = 2\) hoặc \(y = - 2\).

• Với \({y^2} = 16\) ta có \(3{\left( {x - 2023} \right)^2} = 16 - 16 = 0\)

                                 \({\left( {x - 2023} \right)^2} = 0\)

                                  \(x - 2023 = 0\)

                                  \(x = 2023\).

Từ \({y^2} = 16\)suy ra \(y = 4\) hoặc \(y = - 4\).

Vậy các cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn là \[\left( {2025;2} \right);\left( {2025; - 2} \right);\left( {2021;2} \right);\left( {2021; - 2} \right);\]\(\left( {2023;4} \right);\)\(\left( {2023; - 4} \right)\).