Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình bình hành, \(M\) là một điểm di động trên cạnh \(SC\), \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(AM\) và song song với \(BD\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt \(SB\), \(SD\) lần lượt tại \(H\) và \(K\). Chứng minh rằng \(\frac{{SB}}{{SH}} + \frac{{SD}}{{SK}} - \frac{{SC}}{{SM}}\) có giá trị không đổi.

Giả sử \(AM\) cắt \(SO\) tại \(I\).

\(\left( \alpha \right)\) qua \(AM\) và song song với \(BD\), nên \(\left( \alpha \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) theo giao tuyến \(HK\) qua \(I\) và \(HK{\rm{//}}BD\) với \(H\) trên \(SB\) và \(K\) trên \(SD\).

\(\frac{{SB}}{{SH}} = \frac{{SD}}{{SK}} = \frac{{SO}}{{SI}} \Rightarrow \frac{{SB}}{{SH}} + \frac{{SD}}{{SK}} = \frac{{2SO}}{{SI}}\)

Dựng \(OL{\rm{//}}AM\), ta có \(L\) là trung điểm \(CM\) (vì \[O\] là trung điểm của \(\left. {AC} \right)\)\( \Rightarrow LC = ML\).

Ta có: \(\frac{{SO}}{{SI}} = \frac{{SL}}{{SM}} = \frac{{SC - LC}}{{SM}} = \frac{{SC}}{{SM}} - \frac{{LC}}{{SM}}\).

\( \Rightarrow \frac{{SO}}{{SI}} = \frac{{SC}}{{SM}} - \frac{{ML}}{{SM}}\) (vì \(\left. {LC = ML} \right)\).

Mà \(\frac{{ML}}{{MS}} = \frac{{OI}}{{SI}} \Rightarrow \frac{{SO}}{{SI}} = \frac{{SL}}{{SM}} = \frac{{SC}}{{SM}} - \frac{{IO}}{{SI}} \Rightarrow \frac{{SO}}{{SI}} = \frac{{SC}}{{SM}} - \frac{{SO - SI}}{{SI}} \Rightarrow \frac{{2SO}}{{SI}} - \frac{{SC}}{{SM}} = 1\).

Vậy \(\frac{{SB}}{{SH}} + \frac{{SD}}{{SK}} - \frac{{SC}}{{SM}} = 2\frac{{SO}}{{SI}} - \frac{{SC}}{{SM}} = 1\).