Một khối gỗ bị hỏng một góc như hình vẽ, biết \(\left( {ABCD} \right)\parallel \left( {EFMH} \right)\)và \(CK\parallel DH.\)

Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng \(\left( R \right)\) đi qua \(K\) và song song với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right).\) Biết \(BF = 50cm,\)\(DH = 60cm,\)\(CK = 35cm\). Gọi \(P\) là giao điểm của \(BF\) với mặt phẳng \(\left( R \right)\), hãy tính độ dài \(PB.\)

Gọi \[N = DH \cap \left( R \right),Q = EA \cap \left( R \right)\]

\[\left( {EFMH} \right)//\left( {ABCD} \right)\] (giả thiết)

\[\left( R \right)//\left( {ABCD} \right)\] (cách dựng)

Mà \[\left\{ \begin{array}{l}K \in \left( R \right)\\K \notin \left( {EFMH} \right)\end{array} \right.\] nên \[\left( {EFMH} \right)//\left( R \right)\]

Suy ra ba mặt phẳng \[\left( {EFMH} \right),\left( R \right),\left( {ABCD} \right)\] đôi một song song,

Do đó, theo định lí Thalès, ba mặt phẳng trên chắn trên hai cát tuyến \[FB,HD\] các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, từ đó ta có: \[\frac{{FB}}{{PB}} = \frac{{HD}}{{ND}}\]

\[\left\{ \begin{array}{l}\left( R \right)//\left( {ABCD} \right)\\\left( {CDHK} \right) \cap \left( R \right) = NK\\\left( {CDHK} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\end{array} \right. \Rightarrow NK//CD\]

\[\left\{ \begin{array}{l}NK//CD\\CK//ND\end{array} \right. \Rightarrow \] \[CDNK\] là hình bình hành, suy ra \[ND = CK = 36cm\]

\[\frac{{FB}}{{PB}} = \frac{{HD}}{{ND}} \Rightarrow PB = \frac{{FB.ND}}{{HD}} = \frac{{50.36}}{{60}} = 30cm\]

Vậy \[PB = 30cm\]