Người ta thả một quả bóng chuyền từ độ cao  của một tòa nhà chung cư xuống mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao lớn nhất bằng  độ cao mà quả bóng chuyền đã đạt được ngay trước đó. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động (rơi xuống và nảy lên) theo chiều thẳng đứng với mặt đất. Tính tổng độ dài hành trình (quảng đường) của quả bóng chuyền được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.

Gọi \({N_n}\) là quảng đường mà quả bóng chuyển nảy lên theo chiều thẳng đứng lấn thứ n. Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng \(\frac{1}{5}\) lần nảy trước đó, ta có:

\({N_1} = \frac{1}{5}.80;{N_2} = \frac{1}{5}.80.\frac{1}{5} = 80.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^2};\;{N_3} = 80.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^3};...\)

Do đó tổng quảng đường mà quả bóng nảy lên là:

\({S_1} = \frac{1}{5}.80 + 80.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} + 80.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^3} + ... + 80.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^n} + ... = \frac{{80.\frac{1}{5}}}{{1 - \frac{1}{5}}} = 20\left( m \right)\)

Gọi \({R_n}\) là quảng đường mà quả bóng chuyển rơi xuống theo chiều thẳng đứng lấn thứ n. Ta có:

\[{R_1} = 80;{R_2} = \frac{1}{5}.80;\;{R_3} = 80.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^2};...\]

Do đó tổng quảng đường mà quả bóng rơi xuống là:

\({S_2} = 80 + 80.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^1} + 80.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} + ... + 80.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^n} + ... = \frac{{80}}{{1 - \frac{1}{5}}} = 100\left( m \right)\)

Vậy tổng độ dài hành trình của quả bóng là :\(S = {S_1} + {S_2} = 120\left( m \right)\) .