Vì tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) là các tam giác đều ,với\({A_1}B{}_1 = 4\) nên

\({r_1} = \frac{{{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{p_1}}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{6} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow {S_1} = \pi {\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{4\pi }}{3}\)

Với  thì tam giác đều  có cạnh bằng 2 nên

\({r_2} = \frac{{{S_{\Delta {A_2}{B_2}{C_2}}}}}{{{p_2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow {S_2} = \pi {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{\pi }{3}\)

Với \(n = 3\) thì tam giác đều  có cạnh bằng 1 nên \({r_3} = \frac{{{S_{\Delta {A_3}{B_3}{C_3}}}}}{{{p_3}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow {S_3} = \pi {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{6}} \right)^2} = \frac{\pi }{{12}}\)

Khi đó dãy  làY19| CSN lùi vô hạn

với số hạng đầu \({u_1} = {S_1} = \frac{{4\pi }}{3}\) và công bội .

Do đó tổng \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{{4\pi }}{3}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{{16\pi }}{9}\).