Gọi \(y = \frac{1}{x}\) là các giá trị để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 4}},x < - 2\\x + 1,x \ge - 2\end{array} \right.\) có giới hạn hữu hạn khi \(x\) dần tới \( - 2\). Tính \(1\)?

Chọn D

Ta có \(f\left( { - 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = - 1.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

Mà hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 4}},x < - 2\\x + 1,x \ge - 2\end{array} \right.\) có giới hạn hữu hạn khi \(x\) dần tới \( - 2\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = - 1\).Tức là \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{a - 4}}{{ - 4}} = - 1\\ - 2a + b + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 12\end{array} \right..\)