Cho tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) có diện tích bằng \[2023\] cm². Dựng tam giác \({A_2}{B_2}{C_2}\) bằng cách nối các trung điểm của các cạnh \({B_1}{C_1},{C_1}{A_1},{A_1}{B_1}\). Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác \({A_3}{B_3}{C_3}, \ldots ,{A_n}{B_n}{C_n}, \ldots \)Kí hiệu \({S_n}\)là diện tích của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}.\) Tính tổng \(S = {S_1} + {S_2} + \cdots + {S_n} + \cdots \)?

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2022{n^2} - 2023n}}{{2024 + 2025n - 2026{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}\left( {2022 - \frac{{2023}}{n}} \right)}}{{{n^2}\left( {\frac{{2024}}{{{n^2}}} + \frac{{2025}}{n} - 2026} \right)}}\)

              \( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2022 - \frac{{2023}}{n}}}{{\frac{{2024}}{{{n^2}}} + \frac{{2025}}{n} - 2026}}\)\( = \frac{{2022}}{{ - 2026}} = - \frac{{1011}}{{1013}}.\)

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\).

Trong

Xét tam giác \(ESF\) ta có: \(\frac{{EG}}{{ES}} = \frac{1}{3}\;\)

Do \(AE//BF \Rightarrow \frac{{NE}}{{NF}} = \frac{{AN}}{{BN}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{NE}}{{EF}} = \frac{1}{3}.\)

Suy ra \(\frac{{EG}}{{ES}} = \frac{{NE}}{{EF}} \Rightarrow NG//SF.\)

Mà \(SF \subset \left( {SBC} \right)\)\( \Rightarrow NG//\left( {SBC} \right).\)