Cho hình chóp \[S.ABCD\,\], đáy \[ABCD\] là hình vuông có cạnh bằng 6. Trên các cạnh \[SA,SB\] lần lượt lấy \[M,N\] sao cho \[\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\], \[\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{2}{3}.\]

a. Chứng minh rằng\[MN\,{\rm{//}}\,\left( {ABCD} \right)\].

b. Một mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] đi qua \[M,N\] song song với \[AB\] và \[BC\]. Tính diện tích thiết diện của \[\left( \alpha \right)\] và hình chóp.

a. Ta có \[\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\], \[\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{2}{3}.\]\[ \Rightarrow \]\[MN\]//\[AB\]\[ \Rightarrow MN//\left( {ABCD} \right).\]

b. Ta có \[\left( \alpha \right)\parallel AB\] và \[BC\] suy ra \[\left( \alpha \right)\parallel \left( {ABCD} \right).\]

Giả sử \[\left( \alpha \right)\] cắt các mặt bên \[\left( {SAB} \right),\,\,\left( {SBC} \right),\,\,\left( {SCD} \right),\,\,\left( {SDA} \right)\] lần lượt tại các điểm M, \[N,\,\,P,\,\,Q\] với \[N \in SB,\,\,P \in SC,\,\,Q \in SD\,\]suy ra \[\left( \alpha \right) \equiv \left( {MNPQ} \right)\,.\]

Khi đó \[MN\]//\[AB\]\[ \Rightarrow \,\,\,\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{2}{3}\,.\]

Tương tự, ta có được \[\frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{QM}}{{DA}} = \frac{2}{3}\] và \[MNPQ\] là hình vuông.

Suy ra \[{S_{MNPQ}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}{S_{ABCD}} = \frac{4}{9}{S_{ABCD}} = \frac{4}{9}.6.6 = 16.\]