Mai và An là hai chị em sinh đôi và họ có một anh trai. Tổng số tuổi của ba anh em là 50 tuổi. Tìm tuổi của Mai biết tuổi của anh trai bằng \(\frac{4}{3}\) tuổi của Mai.

\(A = \frac{{2024}}{{2025}} + \frac{{2025}}{{2026}} + \frac{{2026}}{{2024}}\)

\( = \left( {1 - \frac{1}{{2025}}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{{2026}}} \right) + \left( {1 + \frac{2}{{2024}}} \right)\)

\( = 3 + \left( {\frac{2}{{2024}} - \frac{1}{{2025}} - \frac{1}{{2026}}} \right)\)

Ta thấy:

      \(\frac{2}{{2024}} > \frac{1}{{2025}} + \frac{1}{{2026}} \Rightarrow \left( {\frac{2}{{2024}} - \frac{1}{{2025}} - \frac{1}{{2026}}} \right) > 0\)

Suy ra \(A > 3\)

Với \(B = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{{15}}\)

Nhóm như sau:

       \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} < \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1\)

  \(\frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{11}} < 6 \times \frac{1}{6} = 1\)

      \(\frac{1}{{12}} + \frac{1}{{13}} + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{15}} < 4 \times \frac{1}{{12}} < \frac{1}{3}\)

Vậy:

                  \(B < \frac{1}{2} + 1 + 1 + \frac{1}{3} = 2.833 \ldots < 3\)

Kết luận:

                                       \(A > 3 > B \Rightarrow A > B\)

a) Vì tam giác AMC và tam giác ABC có chung chiều cao hạ từ C và cạnh đáy AM = \(\frac{2}{3}\) AB nên \({S_{AMC}} = \frac{2}{3}{S_{ABC}} = \frac{2}{3} \times 600 = 400{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2})\)

b) Vì \(N\) là trung điểm AC nên AN = NC, và \(AM = \frac{2}{3}AB\), ta có:

\({S_{ABN}} = {S_{BNC}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\) (Chung chiều cao hạ từ đỉnh B và đáy AN = NC)

\({S_{AMN}} = \frac{2}{3}{S_{ABN}}\)(Chung chiều cao hạ từ N và đáy \(AM = \frac{2}{3}AB\))

Suy ra \({S_{AMN}} = \frac{2}{3}{S_{BNC}}\)

c) \({S_{ABN}} = {S_{BNC}}\) nên chiều cao hạ từ \(A\) đến \(BN\) bằng chiều cao hạ từ \(C\) đến \(BN\)

\( \Rightarrow {S_{ABI}} = {S_{BIC}}\) (chung đáy \(BI\), và chiều cao hạ từ A xuống BN = chiều cao hạ từ C xuống BN) (1)

Ta có \({S_{BMC}} = \frac{1}{2}{S_{AMC}}\) (chung chiều cao hạ từ C và đáy BM = \(\frac{1}{2}\) AM)

Suy ra chiều cao hạ từ B xuống MC bằng \(\frac{1}{2}\) chiều cao hạ từ A xuống MC) (2)

Ta có \({S_{AIN}} = \frac{1}{2}{S_{AIC}}\) ( chung chiều cao hạ từ I và đáy AN = \(\frac{1}{2}\) AC) (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra \({S_{ABI}} = {S_{AIN}}\)

Vậy \(BI = IN\) , do đó I là trung điểm của \(BN\)