Chứng minh rằng nếu \({a^2} = bc\) (với \(a \ne b,\,\,a \ne c)\) thì \(\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{c + a}}{{c - a}}\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(\frac{a}{3} = \frac{b}{8} = \frac{c}{5}\) nên \(\frac{{2a}}{6} = \frac{{3b}}{{24}} = \frac{c}{5}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{2a}}{6} = \frac{{3b}}{{24}} = \frac{c}{5} = \frac{{2a + 3b - c}}{{6 + 24 - 5}} = \frac{{50}}{{25}} = 2\).

Suy ra \(2a = 12\,;\,\,3b = 48\,;\,\,c = 10\)

Do đó \(a = 6\,;\,\,b = 16\,;\,\,c = 10\).

c) Ta có \(\frac{a}{{10}} = \frac{b}{5};\,\,\frac{b}{2} = \frac{c}{5}\) nên \(\frac{{5a}}{{10}} = \frac{b}{1} = \frac{{2c}}{5}\) suy ra \(\frac{{2a}}{4} = \frac{{3b}}{3} = \frac{{4c}}{{10}}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{2a}}{4} = \frac{{3b}}{3} = \frac{{4c}}{{10}} = \frac{{2a - 3b + 4c}}{{4 - 3 + 10}} = \frac{{330}}{{11}} = 30\).

Suy ra \(2a = 120\,;\,\,3b = 90\,;\,\,4c = 300\).

Do đó \(a = 30\,;\,\,b = 30\,;\,\,c = 75\).