Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O\), \(AC = 6;BD = 4\). Tam giác \(SBD\) là tam giác đều. Điểm \(I\) thuộc đoạn \(OA\) sao cho \(AI = 2\), mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua \(I\) và song song \(\left( {SBD} \right)\) cắt các cạnh \(AB,AD,AS\) lần lượt tại \(M,N,P\). Tính diện tích tam giác \(MNP\) (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).

\(I,K\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(CD\) nên \(IK\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\).

Suy ra \(IK//BD\).

Ta có \(\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SIK} \right) \cap \left( {SBD} \right)\\IK//BD\end{array} \right\} \Rightarrow \)giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng qua \(S\) và song song với \(BD\) cắt \(MD\) tại \(F\).

Khi đó \(F = MD \cap \left( {SIK} \right)\).

Dễ dàng chứng minh \(SDBF\) là hình bình hành.

Ta có \(SF//BD\)\( \Rightarrow \frac{{MF}}{{MD}} = \frac{{MS}}{{MB}} = 1\).

Trả lời: 1.

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(BD\) nên \(I\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Suy ra \(\frac{{BI}}{{BO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{BI}}{{BD}} = \frac{1}{3}\).

Ta có \(\left( \alpha  \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) có chung điểm \(I,\left( \alpha  \right)//SD,SD \subset \left( {SBD} \right)\).

Nên giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là đường thẳng qua \(I\) song song với \(SD\) cắt \(SB\) tại \(N\).

Ta có tam giác \(BIN\) đồng dạng với tam giác \(BDS\).

Suy ra \(\frac{{BN}}{{BS}} = \frac{{BI}}{{BD}} = \frac{1}{3}\) hay \(\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{ID}}{{BD}} = \frac{2}{3} \approx 0,67\).

Trả lời: 0,67.