Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{2{n^2} - n + 1}}{{a{n^2} + n + 2}}\) và dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) biết \({v_n} = 3 - \frac{5}{{{2^n}}}\). Khi đó:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} - x - 1} \right) = 1\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 1} \right) = 1\).

c) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) nên hàm số liên tục tại điểm \(x = 2\).

d) Với \(x \in \left( { - \infty ;2} \right)\), hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}\) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\);

Với \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\), hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 1\) liên tục trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Theo câu c, hàm số liên tục tại \(x = 2\).

Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.

a) Với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\), hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\) liên tục trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} =  - \frac{1}{2}\).

c) Với \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\), hàm số \(f\left( x \right) =  - \frac{x}{2}\) liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).

Hàm số \(y = \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(y = \sin x\) liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right) + \sin x\)liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).

d) Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \frac{x}{2}\;\;} \right) =  - \frac{1}{2} = f\left( 1 \right)\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.