Cho phí (đơn vị: triệu đồng) để sản xuất \(x\) sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số \(C\left( x \right) = 2x + 55\). Gọi \(\overline C \left( x \right)\) là chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm. Khi số lượng sản phẩm sản xuất được càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm càng gần với số tiền nào (đơn vị triệu đồng)?

a) Với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\), hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\) liên tục trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} =  - \frac{1}{2}\).

c) Với \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\), hàm số \(f\left( x \right) =  - \frac{x}{2}\) liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).

Hàm số \(y = \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(y = \sin x\) liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right) + \sin x\)liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).

d) Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \frac{x}{2}\;\;} \right) =  - \frac{1}{2} = f\left( 1 \right)\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {x - 1} \right) =  - 3\).

b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x - 3}  - 2}}{{{x^2} - 49}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{x - 7}}{{\left( {{x^2} - 49} \right)\left( {\sqrt {x - 3}  + 2} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{1}{{\left( {x + 7} \right)\left( {\sqrt {x - 3}  + 2} \right)}} = \frac{1}{{56}}\].

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3}  - 2\sqrt {5 - x}  + \sqrt {7 - 3x} }}{{3{x^2} + 2x - 5}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3}  - 2 + 4 - 2\sqrt {5 - x}  + \sqrt {7 - 3x}  - 2}}{{3{x^2} + 2x - 5}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3}  - 2}}{{3{x^2} + 2x - 5}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{4 - 2\sqrt {5 - x} }}{{3{x^2} + 2x - 5}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {7 - 3x}  - 2}}{{3{x^2} + 2x - 5}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {3x + 5} \right)\left( {\sqrt {x + 3}  + 2} \right)}} + 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {3x + 5} \right)\left( {2 + \sqrt {5 - x} } \right)}} - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {3x + 5} \right)\left( {\sqrt {7 - 3x}  + 2} \right)}} = 0\).