Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, 4, …n,… trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. Giả sử quy trình tô màu của chuột Mickey có thể tiến ra vô hạn (như hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện tích mà chuột Mickey phải tô màu.

a) Với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\), hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\) liên tục trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} =  - \frac{1}{2}\).

c) Với \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\), hàm số \(f\left( x \right) =  - \frac{x}{2}\) liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).

Hàm số \(y = \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(y = \sin x\) liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right) + \sin x\)liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).

d) Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \frac{x}{2}\;\;} \right) =  - \frac{1}{2} = f\left( 1 \right)\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {x - 1} \right) =  - 3\).

b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x - 3}  - 2}}{{{x^2} - 49}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{x - 7}}{{\left( {{x^2} - 49} \right)\left( {\sqrt {x - 3}  + 2} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{1}{{\left( {x + 7} \right)\left( {\sqrt {x - 3}  + 2} \right)}} = \frac{1}{{56}}\].

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3}  - 2\sqrt {5 - x}  + \sqrt {7 - 3x} }}{{3{x^2} + 2x - 5}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3}  - 2 + 4 - 2\sqrt {5 - x}  + \sqrt {7 - 3x}  - 2}}{{3{x^2} + 2x - 5}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3}  - 2}}{{3{x^2} + 2x - 5}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{4 - 2\sqrt {5 - x} }}{{3{x^2} + 2x - 5}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {7 - 3x}  - 2}}{{3{x^2} + 2x - 5}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {3x + 5} \right)\left( {\sqrt {x + 3}  + 2} \right)}} + 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {3x + 5} \right)\left( {2 + \sqrt {5 - x} } \right)}} - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {3x + 5} \right)\left( {\sqrt {7 - 3x}  + 2} \right)}} = 0\).