Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(N\) là trung điểm của \(CD\), gọi \(G\)là trọng tâm của tam giác \(BCD\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {GAB} \right)\) là

a) Ta có  là trung điểm của của \(AC,SC\) nên ON là đường trung bình của \(\Delta SAC\).

Suy ra \(ON//SA\).

b) Vì \(AM//CD\)và \(AM = CD = AB\) nên \(AMDC\)là hình b\(MD//AC\)ì\(O,N\)nh hành nên .

c) Gọi \(E\) là giao điểm của \(MC\) và \(AD\). Suy ra \(E\) là trung điểm của \(MC\).

\(O\)là trung điểm của \(AC\). Suy ra \(K\)là trọng tâm của \(\Delta ACM\).

Do đó \(\frac{{EK}}{{EA}} = \frac{1}{3}\) (1).

Tương tự, có \(G\) là trọng tâm \(\Delta SMC\). Suy ra \(\frac{{EG}}{{ES}} = \frac{1}{3}\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(GK//AS\) mà \(ON//SA\) nên \(ON//GK\).

d) Vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta SMC\)nên \(\frac{{GM}}{{GN}} = 2\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;    c) Đúng;    d) Sai.

Ta có \(M\) là điểm trên cạnh \(SB\), \(\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{1}{3}\) nên \(\frac{{MB}}{{MS}} = 2\).

\(IK//BD\) nên \(IK//\left( {SBD} \right)\). Suy ra \(\left( {SBD} \right) \cap \left( {SIK} \right) = Sx,Sx//IK//BD\).

Trong \(\left( {SBD} \right),DM \cap Sx = N\). \(N\)là giao điểm của \(DM\) và \(\left( {SIK} \right)\).

Trong \(\left( {SBD} \right)\), có \(Sx//BD\) nên hai tam giác \(SMN\) và \(BMD\) đồng dạng.

Do đó \(\frac{{MD}}{{MN}} = 2 \Rightarrow \frac{{ND}}{{NM}} = 3\).

Trả lời: 3.