Biết rằng, có tồn tại \(m \in \left( {a;b} \right)\) để phương trình \({2^{2x + 1}} - {2^{x + 3}} - 2m = 0\) có hai nghiệm phân biệt. Tổng \(a + b\) có giá trị bao nhiêu?

a) Điều kiện \(2x + 3 > 0 \Leftrightarrow x >  - \frac{3}{2}\).

Tập xác định của hàm số \(D = \left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\).

b) \(f\left( x \right) = 1\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x + 3} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow 2x + 3 = 3\)\( \Leftrightarrow x = 0\).

c) Ta có \(f\left( x \right) < 2 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x + 3} \right) < 2\)\( \Leftrightarrow 2x + 3 < 9\)\( \Leftrightarrow x < 3\).

Kết hợp với điều kiện ta có \(S = \left( { - \frac{3}{2};3} \right)\), mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\).

Vậy có 4 giá trị nguyên của \(x\) để \(f\left( x \right) < 2\).

d) Vì hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _3}\left( {2x + 3} \right)\) đồng biến trên \(\left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\) nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 1;\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 2\).

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;3} \right]\) là 3.

Đáp án: a) Sai;      b) Đúng;      c) Sai;       d) Đúng.

Ta có \(\frac{{\sqrt {2\sqrt[3]{4}} }}{{{{16}^{0,75}}}}\)\( = \frac{{\sqrt {2 \cdot {2^{\frac{2}{3}}}} }}{{{2^{4 \cdot }}^{0,75}}}\)\( = \frac{{\sqrt {{2^{\frac{5}{3}}}} }}{{{2^3}}}\)\[ = \frac{{{2^{\frac{5}{6}}}}}{{{2^3}}}\]\[ = {2^{\frac{{ - 13}}{6}}}\]. Suy ra \(m =  - \frac{{13}}{6}\). Chọn D.