Hai xạ thủ cùng bắn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ nhất bằng \(\frac{1}{2}\), xác suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ hai bằng \(\frac{1}{3}\). Tính xác suất của biến cố xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia, xạ thủ thứ hai bắn không trúng bia (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Gọi \(A\) là biến cố “Rút được thẻ ghi số chia hết cho 6”; \(B\) là biến cố “Rút được thẻ ghi số chia hết cho 5”.

Từ 1 đến 25 có 4 số chia hết cho 6. Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{4}{{25}} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{21}}{{25}}\).

Từ 1 đến 25 có 5 số chia hết cho 5. Suy ra \(P\left( B \right) = \frac{5}{{25}} = \frac{1}{5} \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = \frac{4}{5}\).

Giả sử Bình thắng ở lần rút thứ n.

Vì các lần rút là độc lập với nhau nên xác suất để Bình thắng ở lần rút thứ n là

\({P_n} = {\left( {\frac{{21}}{{25}}} \right)^n} \cdot {\left( {\frac{4}{5}} \right)^{n - 1}} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n}\).

Do đó xác suất để Bình thắng là:

\(P = \frac{1}{4} \cdot \frac{{84}}{{125}} + \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^2} + ... + \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n} + ...\)\( = \frac{1}{4}\left[ {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right) + {{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)}^n} + ...} \right]\).

Vì \(\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right),{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^2},...,{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n},...\) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \(\frac{{84}}{{125}}\) công bội là \(\frac{{84}}{{125}}\) nên \(P = \frac{1}{4} \cdot \frac{{\frac{{84}}{{125}}}}{{1 - \frac{{84}}{{125}}}} = \frac{{21}}{{41}}\).

Suy ra \(a = 21;b = 41 \Rightarrow a + b = 62\).

Trả lời: 62.

Gọi \(A\) là biến cố “Lấy gói quà màu đỏ từ hộp I”;

\(B\) là biến cố “Lấy gói quà màu đỏ từ hộp II”.

\(C\) là biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

Theo đề ta có \(A,B,C\) là các biến cố độc lập và \(P\left( A \right) = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5};P\left( B \right) = \frac{2}{{10}} = \frac{1}{5}\); \(P\left( C \right) = \frac{1}{6} \Rightarrow P\left( {\overline C } \right) = \frac{5}{6}\).

Gọi \(D\) là biến cố “Lấy được gói quà màu đỏ” \( \Rightarrow D = AC \cup B\overline C \).

Vậy \(P\left( D \right) = P\left( {AC} \right) + P\left( {B\overline C } \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( C \right) + P\left( B \right) \cdot P\left( {\overline C } \right) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{7}{{30}} \approx 0,23\).

Trả lời: 0,23.