B. Tự luận

Một lớp học 40 học sinh gồm có 15 học sinh nam giỏi toán và 8 học sinh nữ giỏi lý. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Hãy tính xác suất để chọn được một nam sinh giỏi toán hoặc một nữ sinh giỏi lý.

Gọi \(A\) là biến cố “Rút được thẻ ghi số chia hết cho 6”; \(B\) là biến cố “Rút được thẻ ghi số chia hết cho 5”.

Từ 1 đến 25 có 4 số chia hết cho 6. Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{4}{{25}} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{21}}{{25}}\).

Từ 1 đến 25 có 5 số chia hết cho 5. Suy ra \(P\left( B \right) = \frac{5}{{25}} = \frac{1}{5} \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = \frac{4}{5}\).

Giả sử Bình thắng ở lần rút thứ n.

Vì các lần rút là độc lập với nhau nên xác suất để Bình thắng ở lần rút thứ n là

\({P_n} = {\left( {\frac{{21}}{{25}}} \right)^n} \cdot {\left( {\frac{4}{5}} \right)^{n - 1}} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n}\).

Do đó xác suất để Bình thắng là:

\(P = \frac{1}{4} \cdot \frac{{84}}{{125}} + \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^2} + ... + \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n} + ...\)\( = \frac{1}{4}\left[ {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right) + {{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)}^n} + ...} \right]\).

Vì \(\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right),{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^2},...,{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n},...\) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \(\frac{{84}}{{125}}\) công bội là \(\frac{{84}}{{125}}\) nên \(P = \frac{1}{4} \cdot \frac{{\frac{{84}}{{125}}}}{{1 - \frac{{84}}{{125}}}} = \frac{{21}}{{41}}\).

Suy ra \(a = 21;b = 41 \Rightarrow a + b = 62\).

Trả lời: 62.

Quy ước gene \(A\): hạt gạo đục và gene \(a\): hạt gạo trong.

Ở thế hệ \({F_2}\) có ba kiểu gene \(AA,Aa,aa\) xuất hiện với tỉ lệ 1 : 2 : 1.

Nên tỉ lệ hạt gạo đục so với hạt gạo trong là 3 : 1.

Gọi \({A_1}\) là biến cố “Hạt gạo lấy ra lần thứ nhất là hạt gạo đục”;

\({A_2}\) là biến cố “Hạt gạo lấy ra lần thứ hai là hạt gạo đục”.

Ta có \({A_1};{A_2}\) là hai biến cố độc lập và \(P\left( {{A_1}} \right) = P\left( {{A_2}} \right) = \frac{3}{4}\).

Xác suất của biến cố “Có đúng 1 hạt gạo đục trong 2 hạt gạo được lấy ra” là

\(P\left( {{A_1}\overline {{A_2}} \cup \overline {{A_1}} {A_2}} \right) = P\left( {{A_1}\overline {{A_2}} } \right) + P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}} \right) = P\left( {{A_1}} \right)P\left( {\overline {{A_2}} } \right) + P\left( {\overline {{A_1}} } \right)P\left( {{A_2}} \right) = 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{8}\).