Ở lúa, hạt gạo đục là tính trạng trội hoàn toàn so với hạt gạo trong. Cho cây lúa có hạt gạo đục thuần chủng thụ phấn với cây lúa có hạt gạo trong được \({F_1}\) toàn là hạt gạo đục. Tiếp tục cho các cây lúa \({F_1}\) thụ phấn với nhau và thu được các hạt gạo mới. Lần lượt chọn ra ngẫu nhiên 2 gạo hạt mới, tính xác suất của biến cố “Có đúng 1 hạt gạo đục trong 2 hạt gạo được lấy ra”.

Gọi \(A\) là biến cố “Trong hai thẻ rút ra có ít nhất một thẻ đánh số 9”;

\(H\) là biến cố “Thẻ rút ra từ hòm thứ nhất không đánh số 9”;

\(K\) là biến cố “Thẻ rút ra từ hòm thứ hai không đánh số 9”.

Khi đó \(\overline A = HK\). Ta có \(P\left( H \right) = \frac{{12}}{{13}};P\left( K \right) = \frac{{12}}{{13}}\).

Vì \(H\)và \(K\) là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {\overline A } \right) = P\left( {HK} \right) = P\left( H \right) \cdot P\left( K \right) = \frac{{144}}{{169}}\).

Do đó \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{144}}{{169}} = \frac{{25}}{{169}}\).

Gọi \(A\) là biến cố “Rút được thẻ ghi số chia hết cho 6”; \(B\) là biến cố “Rút được thẻ ghi số chia hết cho 5”.

Từ 1 đến 25 có 4 số chia hết cho 6. Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{4}{{25}} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{21}}{{25}}\).

Từ 1 đến 25 có 5 số chia hết cho 5. Suy ra \(P\left( B \right) = \frac{5}{{25}} = \frac{1}{5} \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = \frac{4}{5}\).

Giả sử Bình thắng ở lần rút thứ n.

Vì các lần rút là độc lập với nhau nên xác suất để Bình thắng ở lần rút thứ n là

\({P_n} = {\left( {\frac{{21}}{{25}}} \right)^n} \cdot {\left( {\frac{4}{5}} \right)^{n - 1}} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n}\).

Do đó xác suất để Bình thắng là:

\(P = \frac{1}{4} \cdot \frac{{84}}{{125}} + \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^2} + ... + \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n} + ...\)\( = \frac{1}{4}\left[ {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right) + {{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)}^n} + ...} \right]\).

Vì \(\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right),{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^2},...,{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n},...\) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \(\frac{{84}}{{125}}\) công bội là \(\frac{{84}}{{125}}\) nên \(P = \frac{1}{4} \cdot \frac{{\frac{{84}}{{125}}}}{{1 - \frac{{84}}{{125}}}} = \frac{{21}}{{41}}\).

Suy ra \(a = 21;b = 41 \Rightarrow a + b = 62\).

Trả lời: 62.