(3,0 điểm)

1) Bạn Hoa dự định làm 4 hộp quà có dạng hình chóp tứ giác đều như hình bên có cạnh đáy \(6{\rm{\;cm,}}\) chiều cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh là \(4{\rm{\;cm}}.\) Tính diện tích giấy mà bạn Hoa cần dùng để làm 4 hộp quà đó.

2) Cho tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[A.\] Lấy điểm \[M\] thuộc cạnh huyền \[BC.\] Gọi \[D,{\rm{ }}E\] lần lượt là hình chiếu của điểm \[M\] trên đường thẳng \[AB,{\rm{ }}AC.\]

a) Tứ giác \[ADME\] là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh khi điểm \[M\] thay đổi vị trí trên cạnh \[BC\] thì chu vi của tứ giác \[ADME\] không đổi.

c) Điểm \[M\] ở vị trí nào trên cạnh \[BC\] thì \[DE\] có độ dài nhỏ nhất? Tính độ dài nhỏ nhất đó, biết \[AB = 2{\rm{\;cm}}.\]

Hướng dẫn giải

1) Diện tích xung quanh của một hộp quà là: \({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {4 \cdot 6} \right) \cdot 4 = 48{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Diện tích toàn phần của một hộp quà là

Để làm 4 hộp quà bạn Hoa cần dùng diện tích giấy là:

\(4 \cdot 84 = 336{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích giấy mà bạn Hoa cần dùng để làm 4 hộp quà đó là \(336{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}.\)

2)

a) Do \[D,{\rm{ }}E\] lần lượt là hình chiếu của điểm \[M\] trên đường thẳng \[AB,{\rm{ }}AC\] nên \[MD \bot AB,\] \[ME \bot AC.\]

Suy ra \[\widehat {ADM} = \widehat {AEM} = 90^\circ \]

Tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[A\] nên \[\widehat {BAC} = 90^\circ \]

Tứ giác \[ADME\] có \(\widehat {DAE} = \widehat {AEM} = \widehat {MDA} = 90^\circ \) nên \[ADME\] là hình chữ nhật.

b) Do \[ADME\] là hình chữ nhật nên \[DM\,{\rm{//}}\,AC.\]

Suy ra \(\widehat {BMD} = \widehat {ACB}\) (hai góc so le trong).

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 45^\circ \) (vì tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[A),\] suy ra \(\widehat {BMD} = \widehat {ABC} = 45^\circ .\)

Do đó tam giác \[BDM\] cân tại \[D.\] Suy ra \[BD = DM.\]

Chu vi của hình chữ nhật \[ADME\] là: \[2\left( {AD + DM} \right) = 2\left( {AD + BD} \right) = 2AB.\]

Mà \[AB\] không đổi nên chu vi của tứ giác \[ADME\] không đổi.

d) Do \[ADME\] là hình chữ nhật nên \[AM = DE.\]

Suy ra \[DE\] có độ dài nhỏ nhất khi \[AM\] có độ dài nhỏ nhất.

Vậy \[M\] là hình chiếu của \[A\] trên đường thẳng \[BC.\]

Trong tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[A,\] ta có:

\[AC = AB = 2{\rm{\;cm}}\] và \[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {2^2} + {2^2} = 8\] (định lý Pythagore)

Suy ra \[BC = \sqrt 8 {\rm{\;cm}}\].

Xét \(\Delta ABM\) vuông tại \[M\] và \(\Delta ACM\) vuông tại \[M\] có:

Cạnh \[AM\] chung, \(\widehat {ABM} = \widehat {ACM}\) (do \(\Delta ABC\) vuông cân tại \[A)\]

Do đó \(\Delta ABM = \Delta ACM\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra \(BM = CM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 8 }}{2} = \sqrt 2 {\rm{\;cm}}\).

Xét \(\Delta ABM\) vuông tại \[M\] có \(\widehat {ABM} = 45^\circ \) nên \(\widehat {BAM} = \widehat {ABM} = 45^\circ \).

Suy ra tam giác \[ABM\] vuông cân tại \[M.\]

Do đó \(DE = AM = BM = \sqrt 2 {\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Vậy \(DE = \sqrt 2 {\rm{\;cm}}\).