Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 4y + 3z - 5 = 0\) và \(\left( Q \right):mx - ny - 6z + 2 = 0\). Khi mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì \(m + n\) bằng bao nhiêu?

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có \(A\left( {0;0;0} \right),\overrightarrow {AE} = \left( {0;0;1} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {0; - 1;0} \right)\).

Đặt \(M\left( {a;b;c} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {a;b;c} \right)\).

Để cho \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {CD} \) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}a + 0 = 0\\b + 0 = - 3\\c + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = - 3\\c = - 1\end{array} \right.\). Suy ra \(M\left( {0; - 3; - 1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {EBD} \right)\) có dạng: \(x + y + z - 1 = 0\).

Khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {EBD} \right)\) bằng

\(d\left( {M,\left( {EBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 - 3 - 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy khoảng cách cần tìm bằng \(\frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).

Trả lời: 3

Ta có \(d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| m \right|}}{3} = 1\)\( \Leftrightarrow m = 3\) (do \(m > 0\)).