Trong không gian \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa điểm \(M\left( {1;3; - 2} \right)\), cắt các tia \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại \(A,B,C\) sao cho \(\frac{{OA}}{1} = \frac{{OB}}{2} = \frac{{OC}}{4}\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt tia \(Ox\) tại \(A\left( {a;0;0} \right)\), cắt tia \(Oy\) tại \(B\left( {0;b;0} \right)\), cắt tia \(Oz\) tại \(C\left( {0;0;c} \right)\) có dạng là \(\left( P \right):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\left( {a > 0,b > 0,c > 0} \right)\).

Theo đề: \(\frac{{OA}}{1} = \frac{{OB}}{2} = \frac{{OC}}{4}\)\( \Leftrightarrow \frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{b}{2}\\c = 2b\end{array} \right.\).

Vì \(M\left( {1;3; - 2} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên ta có \(\frac{1}{{\frac{b}{2}}} = \frac{3}{b} = \frac{{ - 2}}{{2b}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{b} = 1 \Leftrightarrow b = 4\).

Khi đó \(a = 2;c = 8\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{8} = 1 \Leftrightarrow 4x + 2y + z - 8 = 0\).