Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho  như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình  $y = x^2$và $y = a{x}^3 + bx$. Tính giá trị ab biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn.

 

Đáp án:  ___

Đáp án đúng là "-2"

Phương pháp giải

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x),y = g(x)\), đường thẳng \(x = a,x = b\) là \(S = \int_a^b | f(x) - g(x)|dx\). Từ đó tính diện tích 1 cánh của hình trang trí và suy ra diện tích hình trang trí

- Sử dụng dữ kiện diện tích trang trí màu sẫm chiếm \(\frac{1}{3}\) diện tích mặt sàn suy ra 1 phương trình bậc nhất 2 ẩn

- Sử dụng đồ thị hàm số đi qua điểm suy ra thêm 1 phương trình bậc nhất 2 ẩn

- Giải hệ tìm a, b và tính ab

Lời giải

Diện tích 1 cánh của hình trang trí là:

\({S_1} = \int_0^1 {\left( {{x^2} - a{x^3} - bx} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{a{x^4}}}{4} - \frac{{b{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{a}{4} - \frac{b}{2}\)

\( \Rightarrow \) Diện tích hình trang trí là: \(S = 4{S_1} = \frac{4}{3} - a - 2b\)

Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm \(\frac{1}{3}\) diện tích mặt sàn nên

\(\frac{4}{3} - a - 2b = \frac{4}{3} \Leftrightarrow a + 2b = 0\)

Khi đó ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 1}\\{a + 2b = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b =  - 1}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy \(ab =  - 2\)