Tích tất cả giá trị của a để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{\begin{array}{l}x = 4 + at \\ y = 7-2t\end{array}\right. (t \in R)$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$bằng $45°$ là

Đáp án:  ___

Đáp án đúng là "-4"

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \(\cos \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|\) với \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) lần lượt là VTCP của \({\Delta _1};{\Delta _2}\).

Lời giải

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 + at}\\{y = 7 - 2t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R})} \right.\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (a; - 2)\).

Đường thẳng \(3x + 4y - 2 = 0\) có vectơ chỉ phương là \(\vec v = (4; - 3)\).

\( \Leftrightarrow 5\sqrt {{a^2} + 4}  = \sqrt 2 |4a + 6| \Leftrightarrow 25{a^2} + 100 = 32{a^2} + 96a + 72\)

\( \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{2}{7}}\\{a =  - 14}\end{array}.} \right.\)