Cho hàm số \(f(x) = {\cos ^2}2x + 2{(\sin x + \cos x)^3} - 3\sin 2x + m\). Số các giá trị nguyên của \(m\) để \({f^2}(x) \le 36\,\,\forall x\) là?

 

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sin x + \cos x\) đưa về hàm số phụ thuộc biến \(t\) và khảo sát hàm số đó

Lời giải

Ta có :

\({\cos ^2}2x + 2{(\sin {\rm{x}} + \cos {\rm{x}})^3} - 3\sin 2x + m = 1 - {\sin ^2}2x + 2{(\sin {\rm{x}} + \cos x)^3} - 3\sin 2x + m\)

Đặt \(t = \sin {\rm{x}} + \cos x,\,\,t \in [ - \sqrt 2 ;\sqrt 2 ]\)

\( \Rightarrow {t^2} = {(\sin {\rm{x}} + \cos x)^2} \Leftrightarrow {t^2} = {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 1 + \sin 2x\)

\( \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1\)

Khi đó ta được: \(1 - {\left( {{t^2} - 1} \right)^2} + 2{t^3} - 3\left( {{t^2} - 1} \right) + m = 1 - \left( {{t^2} - 1} \right)\left( {{t^2} + 2} \right) + 2{t^3} + m\)

Xét \(h(t) = 1 + 2{t^3} - \left( {{t^2} - 1} \right)\left( {{t^2} + 2} \right) = - {t^4} + 2{t^3} - {t^2} + 3\)

Ta có \({f^2}(x) \le 36,\forall x \Leftrightarrow |h(t) + m| \le 6 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h(t) + m \le 6}\\{h(t) + m \ge - 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h(t) \le 6 - m}\\{h(t) \ge - 6 - m}\end{array}} \right.} \right.\)

Xét hàm số \(h(t) = - {t^4} + 2{t^3} - {t^2} + 3\) trên đoạn \([ - \sqrt 2 ;\sqrt 2 ]\)

\({h^\prime }(t) = - 4{t^3} + 6{t^2} - 2t \Rightarrow {h^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0}\\{t = 1}\\{t = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Ta có bảng biến thiên :

Khi đó

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h(t) \le 6 - m}\\{h(t) \ge - 6 - m}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {Max}\limits_{t \in [ - \sqrt 2 ,\sqrt 2 ]} h(t) \le 6 - m\\\mathop {Min}\limits_{t \in [ - \sqrt 2 ,\sqrt 2 ]} h(t) \ge - 6 - m\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 \le 6 - m}\\{ - 3 + 4\sqrt 2 \ge - 6 - m}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 3}\\{m \ge - 3 - 4\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow m \in \{ - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3\} \)