Cho hàm số \(f(x) = {\cos ^2}2x + 2{(\sin x + \cos x)^3} - 3\sin 2x + m\). Số các giá trị nguyên của \(m\) để \({f^2}(x) \le 36\,\,\forall x\) là?
Cho hàm số \(f(x) = {\cos ^2}2x + 2{(\sin x + \cos x)^3} - 3\sin 2x + m\). Số các giá trị nguyên của \(m\) để \({f^2}(x) \le 36\,\,\forall x\) là?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là D
Phương pháp giải
Đặt \(t = \sin x + \cos x\) đưa về hàm số phụ thuộc biến \(t\) và khảo sát hàm số đó
Lời giải
Ta có :
\({\cos ^2}2x + 2{(\sin {\rm{x}} + \cos {\rm{x}})^3} - 3\sin 2x + m = 1 - {\sin ^2}2x + 2{(\sin {\rm{x}} + \cos x)^3} - 3\sin 2x + m\)
Đặt \(t = \sin {\rm{x}} + \cos x,\,\,t \in [ - \sqrt 2 ;\sqrt 2 ]\)
\( \Rightarrow {t^2} = {(\sin {\rm{x}} + \cos x)^2} \Leftrightarrow {t^2} = {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 1 + \sin 2x\)
\( \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1\)
Khi đó ta được: \(1 - {\left( {{t^2} - 1} \right)^2} + 2{t^3} - 3\left( {{t^2} - 1} \right) + m = 1 - \left( {{t^2} - 1} \right)\left( {{t^2} + 2} \right) + 2{t^3} + m\)
Xét \(h(t) = 1 + 2{t^3} - \left( {{t^2} - 1} \right)\left( {{t^2} + 2} \right) = - {t^4} + 2{t^3} - {t^2} + 3\)
Ta có \({f^2}(x) \le 36,\forall x \Leftrightarrow |h(t) + m| \le 6 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h(t) + m \le 6}\\{h(t) + m \ge - 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h(t) \le 6 - m}\\{h(t) \ge - 6 - m}\end{array}} \right.} \right.\)
Xét hàm số \(h(t) = - {t^4} + 2{t^3} - {t^2} + 3\) trên đoạn \([ - \sqrt 2 ;\sqrt 2 ]\)
\({h^\prime }(t) = - 4{t^3} + 6{t^2} - 2t \Rightarrow {h^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0}\\{t = 1}\\{t = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)
Ta có bảng biến thiên :
Khi đó
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h(t) \le 6 - m}\\{h(t) \ge - 6 - m}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {Max}\limits_{t \in [ - \sqrt 2 ,\sqrt 2 ]} h(t) \le 6 - m\\\mathop {Min}\limits_{t \in [ - \sqrt 2 ,\sqrt 2 ]} h(t) \ge - 6 - m\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 \le 6 - m}\\{ - 3 + 4\sqrt 2 \ge - 6 - m}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 3}\\{m \ge - 3 - 4\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow m \in \{ - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3\} \)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là D
Phương pháp giải
Sử dụng công thức tính tính thể tích: V = hS
Xác định các thông số trạng thái.
Áp dụng công thức định luật Boyle.
Lời giải
Xét trạng thái 1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{p_1}}\\{{V_1} = {h_1}S}\end{array}} \right.\)
Xét trạng thái 2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{p_2} = 3{p_1}}\\{{V_2} = {h_2}S}\end{array}} \right.\)
Quá trình đẳng nhiệt diễn ra nên ta có: \({p_1}{V_1} = {p_2}{V_2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {p_1}{h_1}S = 3{p_1}{h_2}S\\ \Rightarrow {h_1} = 2{h_2}\\ \Rightarrow {h_2} = \frac{{{h_1}}}{3} = 5\;{\rm{cm}}\end{array}\)
\( \Rightarrow \) pitong dịch sang trái 10 cm.
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là C
Phương pháp giải
Xác suất có điều kiện
Lời giải
\(\Omega = \{ GG;GT;TG,TT\} \)
Số phần tử không gian mẫu: \({n_\Omega } = 4\)
Gọi \(A\) là biến cố : "2 người con đều là gái"
Gọi \(B\) là biến cố : "Có ít nhất một người con là gái"
Số phần tử của biến cố \(A\) là \({n_A} = 1\)
Số phần tử của biến cố \(B\) là \({n_B} = 3\)
\( \Rightarrow n(A \cap B) = 1\)
\(P(A\mid B) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(B)}} = \frac{1}{3}\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập