Số giá trị nguyên của m để hàm số \(y = \sqrt {1 - {m^2} + 2m{\rm{sinx}}} \) xác định trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là

    

Đáp án

2

Giải thích

Hàm số \(y = \sqrt {1 - {m^2} + 2m{\rm{sinx}}} \) xác định

\( \Leftrightarrow 1 - {m^2} + 2m{\rm{sinx}} \ge 0,\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\)

\( \Leftrightarrow 2m{\rm{sin}}x \ge {m^2} - 1,\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\left( {\rm{*}} \right)\)

+ với \(m > 0 \Rightarrow \left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow {\rm{sin}}x \ge \frac{{{m^2} - 1}}{{2m}},\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\)                                    

\( \Leftrightarrow \frac{{{m^2} - 1}}{{2m}} \le 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \le 0 \Leftrightarrow 0 < m \le 1\)

+ Với \(m < 0 \Rightarrow \left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow {\rm{sin}}x \le \frac{{{m^2} - 1}}{{2m}},\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{m^2} - 1}}{{2m}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{{m^2} - 1 - 2m}}{{2m}} \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 - 2m \le 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt 2 \le m < 0\)

+ Với \(m = 0 \Rightarrow y = 1\) luôn xác định trên \(\mathbb{R}\)

Vậy \(1 - \sqrt 2 \le m \le 1 \Rightarrow m = 0,m = 1\) là 2 giá trị nguyên.