Khai triển đa thức \(P\left( x \right) = {(1 + 2x)^{12}} = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_{12}}{x^{12}}\). Tìm hệ số \({a_k}\left( {0 \le k \le 12} \right)\) lớn nhất trong khai triển trên.

  

Đáp án

\(C_{12}^8{2^8}\).

Giải thích

Khai triển nhị thức Newton của \({(1 + 2x)^{12}}\), ta có

Suy ra \({a_k} = C_{12}^k{2^k}\).

Hệ số \({a_k}\) Iớn nhất khi \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_k} \ge {a_{k + 1}}}\\{{a_k} \ge {a_{k - 1}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^k}C_{12}^k \ge {2^{k + 1}}C_{12}^{k + 1}}\\{{2^k}C_{12}^k \ge {2^{k - 1}}C_{12}^{k - 1}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{{12 - k}} \ge \frac{2}{{k + 1}}}\\{\frac{2}{k} \ge \frac{1}{{12 - k + 1}}}\end{array} \Leftrightarrow \frac{{23}}{3} \le k \le \frac{{26}}{3}} \right.} \right.} \right.\].

Vậy hệ số lớn nhất là \({a_8} = C_{12}^8{2^8}\).