Cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(D\) có \(AB = 6a,AD = CD = \frac{1}{2}AB\), \(M\) thuộc cạnh \(AD\) sao cho \(AM = \frac{1}{3}AD\). Tính \(T = \left( {\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right).\left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {BD} } \right)\).

  

Đáp án

\(T = 27{a^2}\).

Giải thích

Vì \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\)

\( \Rightarrow AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\)

Ta có: \(T = \left( {\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right)\left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {BD} } \right)\)

\( = \left[ {\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} } \right)} \right].\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} } \right)\)

\( = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {MD} + 2\overrightarrow {DC} } \right).\overrightarrow {CB} \)

\( = \left( {\frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} + 2.\frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + 2.\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = \left( {\frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right)\left[ {\overrightarrow {AB} - \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} } \right)} \right]\)

\( = \left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right).\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right)\)

\( = A{B^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - A{D^2}\)

\( = A{B^2} - A{D^2} = A{B^2} - {\left( {\frac{1}{2}AB} \right)^2} = \frac{3}{4}A{B^2} = \frac{3}{4}{(6a)^2} = 27{a^2}\).

Vậy \(T = 27{a^2}\).