Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn \(\frac{1}{2}{\log _2}a = {\log _2}\frac{2}{b}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4{a^3} + {b^3} - 4{\log _2}\left( {4{a^3} + {b^3}} \right)\) được viết dưới dạng \(x - y{\log _2}z\), với \(x,y,z > 2\) là các số nguyên, \(z\) là số lẻ. Tổng \(x + y + z\) bằng

  

Đáp án

11.

Giải thích

Do a, b là các số thực dương và \(\frac{1}{2}{\log _2}a = {\log _2}\frac{2}{b} \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt a = {\log _2}\frac{2}{b} \Leftrightarrow a{b^2} = 4\).

Đặt \(t = 4{a^3} + {b^3} = 4{a^3} + \frac{{{b^3}}}{2} + \frac{{{b^3}}}{2} \ge 3\sqrt[3]{{{a^3}{b^6}}} = 3a{b^2} = 12\).

Khi đó \(P = 4{a^3} + {b^3} - 4{\log _2}\left( {4{a^3} + {b^3}} \right) = t - 4{\log _2}t = f(t)\).

Ta có \({f^\prime }(t) = 1 - \frac{4}{{t\ln 2}} > 0,\forall t \ge 12\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f(t)\) là \(f(12) = 12 - 4{\log _2}12 = 12 - 4\left( {2 + {{\log }_2}3} \right) = 4 - 4{\log _2}3\).

Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4{a^3} + {b^3} - 4{\log _2}\left( {4{a^3} + {b^3}} \right)\) là \(4 - 4{\log _2}3\).

Từ đó ta có \(x = y = 4,x = 3\). Tổng \(x + y + z\) bằng 11 .