Tổng các giá trị m nguyên để phương trình sau \(\sin x\cos x - m(\sin x + \cos x) + 1 = 0\) có nghiệm

    

Đáp án

0

Giải thích

Đặt \(t = {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow {\rm{sin}}x{\rm{cos}}x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

\(PT \Leftrightarrow \frac{{{t^2} - 1}}{2} - mt + 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 2mt + 1 = 0\left( {\rm{*}} \right)\)

Để PT có nghiệm thì pt (*) phải có nghiệm trong đoạn \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)

Sử dụng mô hình tam thức

Mô hình 1. có 1 nghiệm thuộc \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{\Delta '}} = 0}\\{ - \sqrt 2 \le m \le \sqrt 2 }\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{\Delta '}} > 0}\\{f\left( { - \sqrt 2 } \right)f\left( {\sqrt 2 } \right) \le 0}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 1 = 0}\\{ - \sqrt 2 \le m \le \sqrt 2 }\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 1 > 0}\\{\left( {3 + 2m\sqrt 2 } \right)\left( {3 - 2m\sqrt 2 } \right) \le 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \pm 1}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 1}\\{m < - 1}\end{array}} \right.}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le - \frac{3}{{2\sqrt 2 }}}\\{m \ge \frac{3}{{2\sqrt 2 }}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \pm 1}\\{m \le - \frac{3}{{2\sqrt 2 }}}\\{m \ge \frac{3}{{2\sqrt 2 }}}\end{array}} \right.} \right.}\end{array}} \right.\)

Mô hình 2. có 2 nghiệm thuộc                                                     

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } > 0}\\{af( - \sqrt 2 ) \ge 0}\\{af(\sqrt 2 ) \ge 0}\\{ - \sqrt 2 \le \frac{S}{2} \le \sqrt 2 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - 1 > 0}\\{2 + 2m\sqrt 2 + 1 \ge 0}\\{2 - 2m\sqrt 2 + 1 \ge 0}\\{ - \sqrt 2 \le m \le \sqrt 2 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 1,m < - 1}\\{m \ge - \frac{3}{{2\sqrt 2 }}}\\{m \le \frac{3}{{2\sqrt 2 }}}\\{ - \sqrt 2 \le m \le \sqrt 2 }\end{array} \Leftrightarrow - \frac{3}{{2\sqrt 2 }} \le m < - 1;\,\,1 < m \le \frac{3}{{2\sqrt 2 }}} \right.} \right.} \right.\) \[\]

Vậy \( - \frac{3}{{2\sqrt 2 }} \le m \le - 1;\,\,1 \le m \le \frac{3}{{2\sqrt 2 }}\).