Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình \(\sqrt[3]{{25x\left( {2{x^2} + 9} \right)}} \ge 4x + \frac{3}{x}\) là

  

Đáp án

0.

Giải thích

Điều kiện: \(x \ne 0\)

Xét \(x > 0\), áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

\(4x + \frac{3}{x} = \frac{5}{3}x + \frac{5}{3}x + \frac{{2{x^2} + 9}}{{3x}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{5}{3}x.\frac{5}{3}x.\frac{{2{x^2} + 9}}{{3x}}}} = \sqrt[3]{{25x\left( {2{x^2} + 9} \right)}}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{5}{3}x = \frac{{2{x^2} + 9}}{{3x}} \Leftrightarrow x = \sqrt 3 \)

Xét \(x < 0\), áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

\( - 4x - \frac{3}{x} = - \frac{5}{3}x - \frac{5}{3}x - \frac{{2{x^2} + 9}}{{3x}} \ge 3\sqrt[3]{{\left( { - \frac{5}{3}x} \right).\left( { - \frac{5}{3}x} \right).\left( { - \frac{{2{x^2} + 9}}{{3x}}} \right)}} = - \sqrt[3]{{25x\left( {2{x^2} + 9} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow 4x + \frac{3}{x} \le \sqrt[3]{{25x\left( {2{x^2} + 9} \right)}},\forall x < 0\).

Vậy bất phương trình có nghiệm \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \sqrt 3 }\\{x < 0}\end{array}} \right.\).