Cho đa thức f(x)  có đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ.

Tổng tất cả các giá trị nguyên của m thuộc [-10;10]  để hàm số $y = f(x^2-2\left|x\right| +m)$ có đúng 9 điểm cực trị bằng bao nhiêu?

Đáp án:  ____

 

Đáp án

-54

Giải thích

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x + m} \right) \Rightarrow y = f\left( {{x^2} - 2\left| x \right| + m} \right) = g\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng 9 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng 4 điểm cực trị dương.

Từ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2}\\{x =  - 1}\\{x = 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\) trong đó \(x = 2\) là nghiệm bội chẵn.

Khi đó, \(g'\left( x \right) = 2\left( {x - 1} \right)f'\left( {{x^2} - 2x + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{f'\left( {{x^2} - 2x + m} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

Xét \(f'\left( {{x^2} - 2x + m} \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 2x + m =  - 2}\\{{x^2} - 2x + m =  - 1}\\{{x^2} - 2x + m = 1}\end{array}} \right.\) (loại từ nghiệm của phương trình \({x^2} - 2x + m = 2\) là

bội chẵn)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m = {x^2} - 2x + 2}\\{ - m = {x^2} - 2x + 1}\\{ - m = {x^2} - 2x - 1}\end{array}} \right.\) (*)

Vậy hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng 4 điểm cực trị dương \( \Leftrightarrow \) (*) có đúng 3 nghiệm (đơn hoặc bội lẻ) dương khác 1. Vẽ ba đường cong parabol \(\left( {{P_1}} \right):y = {x^2} - 2x + 2;\left( {{P_2}} \right):y = {x^2} - 2x + 1;\left( {{P_3}} \right):y = {x^2} - 2x - 1\) trên cùng một hệ trục tọa độ như hình​

Yêu cầu bài toán tương đương với đường thẳng \(y =  - m\) cắt \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right),\left( {{P_3}} \right)\) tại đúng 3 điểm (không có điểm nào tiếp xúc) có hoành độ dương khác 1 \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m \ge 2}\\{0 <  - m < 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le  - 2}\\{ - 1 < m < 0}\end{array}} \right.} \right.\).

Mà \(m \in \mathbb{Z},m \in \left[ { - 10;10} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 10; - 9; \ldots ; - 4; - 3; - 2} \right\}\).

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn là -54.