Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số $y = \frac{x^2 -4x +m+2+3\sqrt{x^2 -4x}}{\sqrt{x^2-4x }+2}$ nghịch biến trên khoảng (-4;0)?

(Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "4"

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 4x} \), khảo sát hàm \(t = \sqrt {{x^2} - 4x} \) để tìm khoảng giá trị của t theo x và biến đổi hàm số ban đầu theo hàm \(t\) và khảo sát.

Lời giải

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 4x} \Rightarrow {t^\prime } = \frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x} }} < 0\,\,\forall t \in ( - 4;0) \Rightarrow t\) nghịch biến trên \(( - 4;0)\)\( \Rightarrow t \in (0;4\sqrt 2 )\).

Khi đó bài toán trở thành tìm \(m\) nguyên dương để hàm số \(g(t) = \frac{{{t^2} + 3t + m + 2}}{{t + 2}}\) đồng biến trên \((0;4\sqrt 2 )\).

Ta có: \(g(t) = \frac{{{t^2} + 3t + m + 2}}{{t + 2}} \Rightarrow {g^\prime }(t) = \frac{{{t^2} + 4t + 4 - m}}{{{{(t + 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 4t + 4 - m = 0 \Leftrightarrow {(t + 2)^2} = m\)

Do phương \(m > 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x = - 2 \pm \sqrt m \)

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ; - 2 - \sqrt m )\) và \(( - 2 + \sqrt m ; + \infty )\).

Để hàm số \(g(t)\) đồng biến trên \((0;4\sqrt 2 ) \Leftrightarrow (0;4\sqrt 2 ) \subset ( - 2 + \sqrt m ; + \infty )\)

\( \Leftrightarrow - 2 + \sqrt m \le 0 \Leftrightarrow \sqrt m \le 2 \Leftrightarrow m \le 4.\)