Cho hàm số \(f(x) = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng \(f(x)\) đạt cực trị tại các điểm \({x_1};{x_2};{x_3}\) thỏa mãn \({x_3} = {x_1} + 2\) và \(f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_3}} \right) + \frac{2}{3}f\left( {{x_2}} \right) = 0\). Gọi \({S_1},{S_2},{S_3},{S_4}\) là diện tích các hình phẳng trong hình vẽ bên. Tỉ số \(\frac{{{S_1} + {S_2}}}{{{S_3} + {S_4}}}\) gần nhất với kết quả nào dưới đây?
Cho hàm số \(f(x) = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng \(f(x)\) đạt cực trị tại các điểm \({x_1};{x_2};{x_3}\) thỏa mãn \({x_3} = {x_1} + 2\) và \(f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_3}} \right) + \frac{2}{3}f\left( {{x_2}} \right) = 0\). Gọi \({S_1},{S_2},{S_3},{S_4}\) là diện tích các hình phẳng trong hình vẽ bên. Tỉ số \(\frac{{{S_1} + {S_2}}}{{{S_3} + {S_4}}}\) gần nhất với kết quả nào dưới đây?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là B
Phương pháp giải
Ứng dụng tích phân
Lời giải
Hàm số \(f(x) = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đạo hàm như sau:
Suy ra \({f^\prime }(x) = 4a(x + 1)x(x - 1) = 4a\left( {{x^3} - x} \right) \Rightarrow f(x) = \int {{f^\prime }} (x)dx\)\( = a\left( {{x^4} - 2{x^2}} \right) + c\)
\(\begin{array}{l}{\rm{Do}}\,\,f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_3}} \right) + \frac{2}{3}f\left( {{x_2}} \right) = 0 \Leftrightarrow f( - 1) + f(1) + \frac{2}{3}f(0) = 0\\ \Leftrightarrow (c - a) + (c - a) + \frac{2}{3}c = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow c = \frac{3}{4}a\). Vậy \(f(x) = a\left( {{x^4} - 2{x^2} + \frac{3}{4}} \right)\)
Xét \(f(x) = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + \frac{3}{4} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{x = \pm \sqrt {\frac{3}{2}} }\end{array}} \right.\).
Vậy \({S_1} = \int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} {|f(x)|dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} {f(x)dx} = a\int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} {\left( {{x^4} - 2{x^2} + \frac{3}{4}} \right)} dx = \frac{{7\sqrt 2 }}{{30}}a\).
\({S_2} = \int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}^1 {|f(x)|dx} = - \int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}^1 {f(x)dx} = - a\int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}^1 {\left( {{x^4} - 2{x^2} + \frac{3}{4}} \right)} dx = \frac{{14\sqrt 2 - 17}}{{60}}a\).
Suy ra \({S_1} + {S_2} = \frac{{7\sqrt 2 }}{{30}}a + \frac{{14\sqrt 2 - 17}}{{60}}a = \frac{{28\sqrt 2 - 17}}{{60}}a\).
Ta có \({S_1} + {S_2} + {S_3} + {S_4}\) là diện tích hình chữ nhật có các kích thước \(1;f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_3}} \right) = a\).
Khi đó \({S_1} + {S_2} + {S_3} + {S_4} = a\).
Do đó \({S_3} + {S_4} = a - \left( {{S_1} + {S_2}} \right) = a - \frac{{28\sqrt 2 - 17}}{{60}}a = \frac{{7(11 - 4\sqrt 2 )}}{{60}}a.\)
\( \Rightarrow \frac{{{S_1} + {S_2}}}{{{S_3} + {S_4}}} = \frac{{28\sqrt 2 - 17}}{{7(11 - 4\sqrt 2 )}} \approx 0,6\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Đáp án đúng là D
Phương pháp giải
Áp suất phân tử chất khí: \(p = \frac{1}{3}\rho \overline {{v^2}} \)
Lời giải
Áp suất mà khí đó tác dụng lên thành bình là:
\(p = \frac{1}{3}.\frac{m}{V}\overline {{v^2}} = \frac{1}{3}\rho \overline {{v^2}} \)
\[ \to p = \frac{1}{3}{.6.10^{ - 2}}{.500^2} = {5.10^3}\,(Pa)\]
Lời giải
Đáp án đúng là "103"
Phương pháp giải
Ứng dụng tích phân để tính thể tích.
Lời giải
Giả sử thiết diện qua trục của bình hoa miêu tả như hình vẽ bên dưới. Chọn hệ trục tọa độ Oxy thỏa mãn gốc tọa độ O trùng với tâm đáy bình hoa, trục Ox trùng với trục của bình hoa.
Bán kính hình tròn đáy bình hoa bằng \({y_A} = 2\) nên
\( - \sin {x_A} + 2 = 2 \Rightarrow \sin {x_A} = 0 \Rightarrow {x_A} = 0\)
Bán kính đường tròn miệng bình hoa bằng \({y_B} = 1,5\,\,\left( {2\pi < {x_B} < 3\pi } \right)\), tức là:
\(\sin \left( {{x_B} - \pi } \right) + 2 = 1,5 \Rightarrow \sin \left( {{x_B} - \pi } \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow {x_B} - \pi = - \frac{\pi }{6} + 2\pi \Rightarrow {x_B} = \frac{{17\pi }}{6}\)
Khi đó thể tích bình hoa giới hạn bởi các đường \(y = - \sin x + 2;y = 0;x = 0;x = \frac{{17\pi }}{6}\) được xác định theo công thức
\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {{{( - \sin x + 2)}^2}} \;{\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {\left( {4 - 4\sin x + {{\sin }^2}x} \right)} {\rm{d}}x\\ = \pi \int\limits_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {\left( {4 - 4\sin x + \frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)} {\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {\left( {\frac{9}{2} - 4\sin x - \frac{{\cos 2x}}{2}} \right)} {\rm{d}}x\\ = \left. {\pi \left( {\frac{9}{2}x + 4\cos x - \frac{{\sin 2x}}{4}} \right)} \right|_0^{\frac{{17\pi }}{6}} = \frac{{51{\pi ^2}}}{4} - \frac{{32 + 15\sqrt 3 }}{8}\pi \approx 103,07\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\end{array}\)
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập