Cho hàm số \(f(x) = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng \(f(x)\) đạt cực trị tại các điểm \({x_1};{x_2};{x_3}\) thỏa mãn \({x_3} = {x_1} + 2\) và \(f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_3}} \right) + \frac{2}{3}f\left( {{x_2}} \right) = 0\). Gọi \({S_1},{S_2},{S_3},{S_4}\) là diện tích các hình phẳng trong hình vẽ bên. Tỉ số \(\frac{{{S_1} + {S_2}}}{{{S_3} + {S_4}}}\) gần nhất với kết quả nào dưới đây?

 

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Ứng dụng tích phân

Lời giải

Hàm số \(f(x) = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đạo hàm như sau:

Suy ra \({f^\prime }(x) = 4a(x + 1)x(x - 1) = 4a\left( {{x^3} - x} \right) \Rightarrow f(x) = \int {{f^\prime }} (x)dx\)\( = a\left( {{x^4} - 2{x^2}} \right) + c\)

\(\begin{array}{l}{\rm{Do}}\,\,f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_3}} \right) + \frac{2}{3}f\left( {{x_2}} \right) = 0 \Leftrightarrow f( - 1) + f(1) + \frac{2}{3}f(0) = 0\\ \Leftrightarrow (c - a) + (c - a) + \frac{2}{3}c = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow c = \frac{3}{4}a\). Vậy \(f(x) = a\left( {{x^4} - 2{x^2} + \frac{3}{4}} \right)\)

Xét \(f(x) = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + \frac{3}{4} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{x = \pm \sqrt {\frac{3}{2}} }\end{array}} \right.\).

Vậy \({S_1} = \int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} {|f(x)|dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} {f(x)dx} = a\int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} {\left( {{x^4} - 2{x^2} + \frac{3}{4}} \right)} dx = \frac{{7\sqrt 2 }}{{30}}a\).

\({S_2} = \int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}^1 {|f(x)|dx} = - \int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}^1 {f(x)dx} = - a\int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}^1 {\left( {{x^4} - 2{x^2} + \frac{3}{4}} \right)} dx = \frac{{14\sqrt 2 - 17}}{{60}}a\).

Suy ra \({S_1} + {S_2} = \frac{{7\sqrt 2 }}{{30}}a + \frac{{14\sqrt 2 - 17}}{{60}}a = \frac{{28\sqrt 2 - 17}}{{60}}a\).

Ta có \({S_1} + {S_2} + {S_3} + {S_4}\) là diện tích hình chữ nhật có các kích thước \(1;f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_3}} \right) = a\).

Khi đó \({S_1} + {S_2} + {S_3} + {S_4} = a\).

Do đó \({S_3} + {S_4} = a - \left( {{S_1} + {S_2}} \right) = a - \frac{{28\sqrt 2 - 17}}{{60}}a = \frac{{7(11 - 4\sqrt 2 )}}{{60}}a.\)

\( \Rightarrow \frac{{{S_1} + {S_2}}}{{{S_3} + {S_4}}} = \frac{{28\sqrt 2 - 17}}{{7(11 - 4\sqrt 2 )}} \approx 0,6\)