Biết \({\log _7}12 = a;{\log _{12}}24 = b\). Giá trị của \({\log _{54}}168\) được tính theo \(a\) và \(b\) là

Đáp án A

\(\frac{{ab + 1}}{{a\left( {8 - 5b} \right)}}\).

Giải thích

Cách 1. Do \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}12 = a;{\rm{lo}}{{\rm{g}}_{12}}24 = b \Rightarrow a;b > 0\). Ta có:

\({\log _7}12 = a \Leftrightarrow {\log _7}\left( {{2^2}.3} \right) = a \Leftrightarrow 2{\log _7}2 + {\log _7}3 = a\;\,\,\left( 1 \right)\)

\({\log _{12}}24 = b \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_7}24}}{{{{\log }_7}12}} = b \Leftrightarrow \frac{{3{{\log }_7}2 + {{\log }_7}3}}{a} = b \Leftrightarrow 3{\log _7}2 + {\log _7}3 = ab\;\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}2 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}3 = a}\\{3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}2 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}3 = ab}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}2 = ab - a}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}3 = 3a - 2ab}\end{array}} \right.} \right.\)

Mặt khác, \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{54}}168 = \frac{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}168}}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}54}} = \frac{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\left( {{2^3}.3.7} \right)}}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\left( {{{2.3}^3}} \right)}} = \frac{{3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}2 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}3 + 1}}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}2 + 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}3}}\)

\( \Rightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{54}}168 = \frac{{3\left( {ab - a} \right) + 3a - 2ab + 1}}{{ab - a + 3\left( {3a - 2ab} \right)}} = \frac{{3ab - 3a + 3a - 2ab + 1}}{{ab - a + 9a - 6ab}} = \frac{{ab + 1}}{{8a - 5ab}} = \frac{{ab + 1}}{{a\left( {8 - 5b} \right)}}\)

Vậy \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{54}}168 = \frac{{ab + 1}}{{a\left( {8 - 5b} \right)}}\).

Cách 2. Sử dụng Casio.

Nhập .

Tính \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{54}}168 - X\) với \(X\) là biểu thức của các phương án. Biểu thức \(X\) nào cho cho kết quả bằng 0 thì là phương án đúng.