Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, đường cao \(SO = 2a\). Gọi M là điểm thuộc đường cao \(AA'\) của tam giác ABC. Xét mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua M và vuông góc với \(AA'\). Đặt \(AM = x\,\,\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3} < x < \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\). Giá trị của \(x\) để thiết diện của hình chóp khi cắt bởi \(\left( P \right)\) có diện tích lớn nhất

 

Đáp án

\(x = \frac{{3a\sqrt 3 }}{8}\).

Giải thích

Theo giả thiết \(M\) thuộc \(OA\). Ta có \(SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot AA'\)

Tam giác \(ABC\) đều nên \(BC \bot AA'\).

Vậy \(\left( P \right)\) qua M song song với SO và BC.

Xét \(\left( P \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) có \(M\) chung. Do \(\left( P \right)//BC\) nên kẻ qua \(M\) đường

thẳng song song với BC cắt \(AB,AC\) tại \(E,F\).

Tương tự kẻ qua M đường thẳng song song với SO cắt \(SA\) tại N , qua N kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(SB,SC\) tại \(H,Q\).

Ta có thiết diện là tứ giác \(EFGH\).

Ta có \(EF//BC//GH,\,\,M,N\) là trung điểm \(EF,GH\) nên \(EFGH\) là

hình thang cân đáy \(HG,EF\). Khi đó \({S_{EFGH}} = \frac{1}{2}\left( {EF + GH} \right)MN\)

Ta có \(MN = \frac{{2x\sqrt 3 }}{3}\) và

\(\frac{{HG}}{{BC}} = \frac{{SN}}{{SA'}} = \frac{{OM}}{{OA'}} \Rightarrow HG = 2\left( {x\sqrt 3 - a} \right)\)

\(\frac{{MN}}{{SO}} = \frac{{MA'}}{{OA'}} \Rightarrow MN = 2\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right)\)

\({S_{EFGH}} = \frac{1}{2}\left( {EF + GH} \right).MN = \frac{2}{3}\left( {4x\sqrt 3 - 3a} \right)\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right)\)

\[{S_{EFGH}} = \frac{1}{3}\left( {4x\sqrt 3 - 3a} \right)(6a - 4x\sqrt 3 )\mathop \le \limits^{{\rm{Cauchy}}} \frac{1}{3}.{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\]

\({S_{EFGH}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{3{a^2}}}{4}\) khi và chỉ khi \(x = \frac{{3a\sqrt 3 }}{8}\).

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện bằng \(\frac{{3{a^2}}}{4}\) khi \(x = \frac{{3a\sqrt 3 }}{8}\).