Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, đường cao \(SO = 2a\). Gọi M là điểm thuộc đường cao \(AA'\) của tam giác ABC. Xét mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua M và vuông góc với \(AA'\). Đặt \(AM = x\,\,\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3} < x < \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\). Giá trị của \(x\) để thiết diện của hình chóp khi cắt bởi \(\left( P \right)\) có diện tích lớn nhất
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, đường cao \(SO = 2a\). Gọi M là điểm thuộc đường cao \(AA'\) của tam giác ABC. Xét mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua M và vuông góc với \(AA'\). Đặt \(AM = x\,\,\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3} < x < \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\). Giá trị của \(x\) để thiết diện của hình chóp khi cắt bởi \(\left( P \right)\) có diện tích lớn nhất
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án
\(x = \frac{{3a\sqrt 3 }}{8}\).
Giải thích
Theo giả thiết \(M\) thuộc \(OA\). Ta có \(SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot AA'\)
Tam giác \(ABC\) đều nên \(BC \bot AA'\).
Vậy \(\left( P \right)\) qua M song song với SO và BC.
Xét \(\left( P \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) có \(M\) chung. Do \(\left( P \right)//BC\) nên kẻ qua \(M\) đường
thẳng song song với BC cắt \(AB,AC\) tại \(E,F\).
Tương tự kẻ qua M đường thẳng song song với SO cắt \(SA\) tại N , qua N kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(SB,SC\) tại \(H,Q\).
Ta có thiết diện là tứ giác \(EFGH\).
Ta có \(EF//BC//GH,\,\,M,N\) là trung điểm \(EF,GH\) nên \(EFGH\) là
hình thang cân đáy \(HG,EF\). Khi đó \({S_{EFGH}} = \frac{1}{2}\left( {EF + GH} \right)MN\)
Ta có \(MN = \frac{{2x\sqrt 3 }}{3}\) và
\(\frac{{HG}}{{BC}} = \frac{{SN}}{{SA'}} = \frac{{OM}}{{OA'}} \Rightarrow HG = 2\left( {x\sqrt 3 - a} \right)\)
\(\frac{{MN}}{{SO}} = \frac{{MA'}}{{OA'}} \Rightarrow MN = 2\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right)\)
\({S_{EFGH}} = \frac{1}{2}\left( {EF + GH} \right).MN = \frac{2}{3}\left( {4x\sqrt 3 - 3a} \right)\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right)\)
\[{S_{EFGH}} = \frac{1}{3}\left( {4x\sqrt 3 - 3a} \right)(6a - 4x\sqrt 3 )\mathop \le \limits^{{\rm{Cauchy}}} \frac{1}{3}.{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\]
\({S_{EFGH}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{3{a^2}}}{4}\) khi và chỉ khi \(x = \frac{{3a\sqrt 3 }}{8}\).
Vậy giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện bằng \(\frac{{3{a^2}}}{4}\) khi \(x = \frac{{3a\sqrt 3 }}{8}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án
Người mồ côi.
Giải thích
Nhân vật Tấm được xếp vào kiểu nhân vật người mồ côi trong truyện cổ tích.
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án
2467,7 m.
Giải thích
Với \(BC = x\) và chiều cao ngọn núi là \(h = CD\).
Trong tam giác vuông \(ACD\) ta có\(:CD = {\rm{tan}}{34^ \circ }.AC = {\rm{tan}}{34^ \circ }\left( {x + 500} \right)\)
Mặt khác trong tam giác vuông \(BCD\) ta có: \(CD = {\rm{tan}}{38^ \circ }.BC = {\rm{tan}}{38^ \circ }.x\)
Từ đây suy ra: \({\rm{tan}}{34^ \circ }\left( {x + 500} \right) = {\rm{tan}}{38^ \circ }.x \Leftrightarrow x = \frac{{500.{\rm{tan}}{{34}^ \circ }}}{{{\rm{tan}}{{38}^ \circ } - {\rm{tan}}{{34}^ \circ }}}\)
Vậy \(h = CD = \frac{{500.{\rm{tan}}{{34}^ \circ }}}{{{\rm{tan}}{{38}^ \circ } - {\rm{tan}}{{34}^ \circ }}}{\rm{.tan}}{38^ \circ } \approx 2467,7\left( m \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập