Rút gọn biểu thức sau:
\[P = \left( {\frac{{x - 108 + 23\sqrt x }}{{x - 16}} - 1} \right)\,:\,\left( {\frac{{75 - x}}{{x + \sqrt x - 12}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 4}}} \right)\,,\,\left( {x > 0,\,x \ne 9,\,x \ne 16} \right)\].
Rút gọn biểu thức sau:
\[P = \left( {\frac{{x - 108 + 23\sqrt x }}{{x - 16}} - 1} \right)\,:\,\left( {\frac{{75 - x}}{{x + \sqrt x - 12}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 4}}} \right)\,,\,\left( {x > 0,\,x \ne 9,\,x \ne 16} \right)\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 9\\x \ne 16\end{array} \right.\].
Ta có \[P = \left( {\frac{{x - 108 + 23\sqrt x }}{{x - 16}} - 1} \right)\,:\,\left( {\frac{{75 - x}}{{x + \sqrt x - 12}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 4}}} \right)\,\]
\[ = \left( {\frac{{x - 16 + 23\sqrt x - 92}}{{x - 16}} - 1} \right)\,:\,\left[ {\frac{{\left( {75 - x} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right) + \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {x + \sqrt x - 12} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {x + \sqrt x - 12} \right)}}} \right]\,\,\]
\[ = \frac{{23\left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 16}}\,:\,\,\left[ {\frac{{75\sqrt x + 300 - x\sqrt x - 4x + x\sqrt x + x - 12\sqrt x + 3x + 3\sqrt x - 36}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {x + \sqrt x - 12} \right)}}} \right]\,\]
\[ = \frac{{23}}{{\sqrt x + 4}}\,:\,\left[ {\frac{{66\sqrt x + 264}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {x + \sqrt x - 12} \right)}}} \right]\]\[ = \frac{{23\left( {x - 16 + \sqrt x + 4} \right)}}{{66\left( {\sqrt x + 4} \right)}}\, = \frac{{23}}{{66}}\left( {\sqrt x - 3} \right)\]Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
|
a) Từ giả thiết \[abc = 2023\], ta có \[M = \frac{{2023a}}{{ab + 2023a + 2023}} + \frac{b}{{bc + b + 2023}} + \frac{c}{{ca + c + 1}}\] \[ = \frac{{{a^2}bc}}{{ab + {a^2}bc + abc}} + \frac{b}{{bc + b + abc}} + \frac{c}{{ac + c + 1}}\]\[ = \frac{{{a^2}bc}}{{ab\left( {ac + c + 1} \right)}} + \frac{b}{{b\left( {ac + c + 1} \right)}} + \frac{c}{{ca + c + 1}}\] \[ = \frac{{ac}}{{ac + c + 1}} + \frac{1}{{ac + c + 1}} + \frac{c}{{ac + c + 1}}\]\[ = \frac{{ac + c + 1}}{{ac + c + 1}} = 1\] |
|
b) Từ giả thiết \[a\] và \[b\] là hai nghiệm của phương trình \[{x^2} - 2025nx - 2024 = 0\] \[c\] và \[d\] là hai nghiệm của phương trình \[{x^2} - 2023nx - 2024 = 0\]. Theo định lí Viet, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2025n\\ab = - 2024\end{array} \right.\] và \[\left\{ \begin{array}{l}c + d = 2023n\\cd = - 2024\end{array} \right.\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\]. Do đó \[\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a + d} \right)\left( {b + d} \right) = \left[ {\left( {a - c} \right)\,\left( {b + d} \right)} \right].\left[ {\left( {b - c} \right)\,\left( {a + d} \right)} \right]\] \[ = \left( {ab + ad - bc - cd} \right)\left( {ab + bd - ac - cd} \right)\]\[ = \left( {ad - bc} \right)\left( {bd - ac} \right)\] \[ = ab{d^2} - {a^2}cd - {b^2}cd + ab{c^2} = 2024\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 2024\left( {{c^2} + {d^2}} \right)\] \[ = 2024\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - {{\left( {c + d} \right)}^2}} \right] = 2024\left[ {{{\left( {2025n} \right)}^2} - {{\left( {2023n} \right)}^2}} \right]\] \[ = {\left( {4048n} \right)^2}\,\,\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\] là một số chính phương (đpcm). |
Lời giải
![Cho tam giác nhọn \[ABC\] nội tiếp đường tròn (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid1-1766320536.png)
|
a) Ta có \[HN \bot AC \Rightarrow \widehat {HNA} = {90^{\rm{o}}}\]; \[HM \bot AB \Rightarrow \widehat {HMA} = {90^{\rm{o}}}\]. Xét tứ giác \[AMHN\], có \[\widehat {HNA} + \widehat {HMA} = {180^{\rm{o}}}\], hai góc \[\widehat {HNA}\] và \[\widehat {HMA}\] ở vị trí đối nhau. Do đó tứ giác \[AMHN\]nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\]. |
|
b) Xét \[\Delta AHB\] vuông tại \[H\], có đường cao \[HM\], ta có \[A{H^2} = AM \cdot AB\] \[\Delta AHC\] vuông tại \[H\], có đường cao \[HN\], ta có \[A{H^2} = AN \cdot AC\] Do đó \[AM \cdot AB = AN \cdot AC\] hay \[\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\] Lại có\[\widehat A\] chung nên \[\Delta AMN\, \sim \Delta ACB \Rightarrow \widehat {ANM} = \widehat {ABC}\]. Kẻ \[AO\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm \[K\]. Ta có \[\widehat {ABC} = \widehat {AKC}\]. Do đó \[\widehat {ANM} = \widehat {AKC}\] (1) Mặt khác, \[Q\] thuộc đường tròn tâm \[A\], bán kính \[AH\] nên \[AQ = AH\]. \[A{Q^2} = A{H^2} = AN \cdot AC \Rightarrow \frac{{AQ}}{{AN}} = \frac{{AC}}{{AQ}} \Rightarrow \Delta AQC\, \sim \Delta ANQ \Rightarrow \widehat {AQC} = \widehat {ANQ}\] Tứ giác \[AQCK\]nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\]nên \[\widehat {AQC} + \widehat {AKC} = {180^{\rm{o}}}\]. Suy ra \[\widehat {ANQ} + \widehat {AKC} = {180^{\rm{o}}}\]. (2) Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {ANM} + \widehat {ANQ} = {180^{\rm{o}}}\] hay ba điểm \[M,\,N,\,Q\] thẳng hàng. |
|
c) Gọi giao điểm thứ hai của đường tròn \[\left( O \right)\]và đường tròn tâm \[A\], bán kính \[AH\] là \[P\]. Chứng minh tương tự ý b) ta có ba điểm \[M,\,N,\,P\] thẳng hàng. Gọi \[\Delta \] là tiếp tuyến với đường tròn \[\left( O \right)\]tại \[K\]. Ta có \[PQ\, \bot \,AK\](tính chất đường kính và dây cung chắn bởi giao điểm của hai đường tròn) \[ \Rightarrow PQ\,{\rm{//}}\,\Delta \]. Vì \[A\] cố định, \[\left( O \right)\] cố định nên \[\Delta \] cố định. Do đó \[B,\,C\] khi thay đổi trên đường tròn \[\left( O \right)\]sao cho \[\Delta ABC\] luôn là tam giác nhọn thì \[MN\] luôn song song với tiếp tuyến \[\Delta \] cố định của đường tròn \[\left( O \right)\]. |
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập