Ta có \[P = \left( {\frac{{x - 108 + 23\sqrt x }}{{x - 16}} - 1} \right)\,:\,\left( {\frac{{75 - x}}{{x + \sqrt x - 12}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 4}}} \right)\,\]

\[ = \left( {\frac{{x - 16 + 23\sqrt x - 92}}{{x - 16}} - 1} \right)\,:\,\left[ {\frac{{\left( {75 - x} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right) + \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {x + \sqrt x - 12} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {x + \sqrt x - 12} \right)}}} \right]\,\,\]

\[ = \frac{{23\left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 16}}\,:\,\,\left[ {\frac{{75\sqrt x + 300 - x\sqrt x - 4x + x\sqrt x + x - 12\sqrt x + 3x + 3\sqrt x - 36}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {x + \sqrt x - 12} \right)}}} \right]\,\]

\[ = \frac{{23}}{{\sqrt x + 4}}\,:\,\left[ {\frac{{66\sqrt x + 264}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {x + \sqrt x - 12} \right)}}} \right]\]\[ = \frac{{23\left( {x - 16 + \sqrt x + 4} \right)}}{{66\left( {\sqrt x + 4} \right)}}\, = \frac{{23}}{{66}}\left( {\sqrt x - 3} \right)\]

Câu 2

Trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho parabol \[\left( P \right)\,:\,y = {x^2}\] và đường thẳng \[\left( d \right)\,:\,y = - x + 6\] cắt

nhau tại hai điểm phân biệt \[A,\,B\]. Tính tổng độ dài \[OA\] và \[OB\] (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol \[\left( P \right)\,\]và đường thẳng \[\left( d \right)\,\]là

\[{x^2} = - x + 6 \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 2\end{array} \right.\]

Tọa độ giao điểm \[A,\,B\] của \[\left( P \right)\,\]và \[\left( d \right)\,\]là \[A\left( { - 3\,;\,9} \right),\,B\left( {2\,;\,4} \right)\].

Do đó, tổng độ dài của hai đoạn thẳng \[OA\] và \[OB\] là

\[T = OA + OB = \sqrt {{{\left( {0 + 3} \right)}^2} + {{\left( {0 - 9} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {90} + \sqrt {20} \approx 13,96\].

Câu 3

a) Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| + {y^2} = 10\\2\left| x \right| - 3{y^2} = - 25\end{array} \right.\].

b) Giải phương trình: \[x + \frac{1}{x} + \sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - 4} = 3\].

Xem đáp án

Lời giải

a) Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau: \[\left\{ \begin{array}{l}2\left| x \right| + 2{y^2} = 20\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2\left| x \right| - 3{y^2} = - 25\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Trừ từng vế phương trình (2) và (1), ta được: \[5{y^2} = 45 \Leftrightarrow {y^2} = 9 \Rightarrow y = \pm 3\]

Với \[y = \pm 3\], thay vào phương trình (1), ta được \[\left| x \right| = 1 \Rightarrow x = \pm 1\]

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là \[S = \left\{ {\left( { - 1\,;\,3} \right)\,,\,\left( {1\,;\,3} \right),\,\left( { - 1\,;\, - 3} \right)\,,\,\left( {1\,;\, - 3} \right)} \right\}\]

b) \[x + \frac{1}{x} + \sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - 4} = 3\,\,\,\,\](3)

Điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - 4 \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\left( * \right)\].

Đặt \[x + \frac{1}{x} = t,\,\left| t \right| \ge 2\,\,\left( {**} \right)\]. Khi đó \[{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} - 2\], phương trình (3) có dạng:

\[t + \sqrt {{t^2} - 6} = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} - 6} = 3 - t \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\sqrt 6 \le t \le 3\\t \le - \sqrt 6 \end{array} \right.\\{t^2} - 6 = {\left( {3 - t} \right)^2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\sqrt 6 \le t \le 3\\t \le - \sqrt 6 \end{array} \right.\\t = \frac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow t = \frac{5}{2}\]

Với \[t = \frac{5}{2}\], thay vào \[\left( {**} \right)\], ta được \[x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 2 = 0\, \Rightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\,\,\left( {{\rm{t/m}}\,\left( * \right)} \right)\\x = 2\,\,\left( {{\rm{t/m}}\,\left( * \right)} \right)\end{array} \right.\].

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \[S = \left\{ {\frac{1}{2}\,;\,2} \right\}\].

Câu 4

a) Cho ba số thực \[a,\,b,\,c\] thỏa mãn \[abc = 2023\]. Tính giá trị của biểu thức:

\[M = \frac{{2023a}}{{ab + 2023a + 2023}} + \frac{b}{{bc + b + 2023}} + \frac{c}{{ca + c + 1}}\]

b) Cho \[n\] là số tự nhiên \[\left( {n > 1} \right)\]. Gọi \[a\] và \[b\] là hai nghiệm của phương trình \[{x^2} - 2025nx - 2024 = 0\]. Gọi \[c\] và \[d\] là hai nghiệm của phương trình \[{x^2} - 2023nx - 2024 = 0\]. Chứng minh rằng \[\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a + d} \right)\left( {b + d} \right)\] là một số chính phương.

Xem đáp án

Lời giải

a) Từ giả thiết \[abc = 2023\], ta có

\[M = \frac{{2023a}}{{ab + 2023a + 2023}} + \frac{b}{{bc + b + 2023}} + \frac{c}{{ca + c + 1}}\]

\[ = \frac{{{a^2}bc}}{{ab + {a^2}bc + abc}} + \frac{b}{{bc + b + abc}} + \frac{c}{{ac + c + 1}}\]\[ = \frac{{{a^2}bc}}{{ab\left( {ac + c + 1} \right)}} + \frac{b}{{b\left( {ac + c + 1} \right)}} + \frac{c}{{ca + c + 1}}\]

\[ = \frac{{ac}}{{ac + c + 1}} + \frac{1}{{ac + c + 1}} + \frac{c}{{ac + c + 1}}\]\[ = \frac{{ac + c + 1}}{{ac + c + 1}} = 1\]

b) Từ giả thiết \[a\] và \[b\] là hai nghiệm của phương trình \[{x^2} - 2025nx - 2024 = 0\] \[c\] và \[d\] là hai nghiệm của phương trình \[{x^2} - 2023nx - 2024 = 0\]. Theo định lí Viet, ta có

\[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2025n\\ab = - 2024\end{array} \right.\] và \[\left\{ \begin{array}{l}c + d = 2023n\\cd = - 2024\end{array} \right.\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\].

Do đó \[\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a + d} \right)\left( {b + d} \right) = \left[ {\left( {a - c} \right)\,\left( {b + d} \right)} \right].\left[ {\left( {b - c} \right)\,\left( {a + d} \right)} \right]\]

\[ = \left( {ab + ad - bc - cd} \right)\left( {ab + bd - ac - cd} \right)\]\[ = \left( {ad - bc} \right)\left( {bd - ac} \right)\]

\[ = ab{d^2} - {a^2}cd - {b^2}cd + ab{c^2} = 2024\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 2024\left( {{c^2} + {d^2}} \right)\]

\[ = 2024\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - {{\left( {c + d} \right)}^2}} \right] = 2024\left[ {{{\left( {2025n} \right)}^2} - {{\left( {2023n} \right)}^2}} \right]\]

\[ = {\left( {4048n} \right)^2}\,\,\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\] là một số chính phương (đpcm).

Câu 5

Cho tam giác nhọn \[ABC\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\], \[AB < AC\]. Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[A\] trên cạnh \[BC\]. Kẻ \[HM,\,HN\] lần lượt vuông góc với \[AB,\,AC\,\left( {M \in AB,\,N \in AC} \right)\].

a)     Chứng minh tứ giác \[AMHN\] nội tiếp.

b)    Gọi giao điểm của đường tròn tâm \[A\] bán kính \[AH\] với cung nhỏ \[AC\] của đường tròn \[\left( O \right)\] là điểm \[Q\]. Chứng minh ba điểm \[M,\,N,\,Q\] thẳng hàng.

c)     Khi điểm \[A\] cố định và hai điểm \[B,\,C\]di động trên đường tròn \[\left( O \right)\] sao cho tam giác \[ABC\] luôn là tam giác nhọn. Chứng minh \[MN\] song song với một đường thẳng cố định.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tam giác nhọn \[ABC\] nội tiếp đường tròn (ảnh 1)$

a) Ta có \[HN \bot AC \Rightarrow \widehat {HNA} = {90^{\rm{o}}}\]; \[HM \bot AB \Rightarrow \widehat {HMA} = {90^{\rm{o}}}\].

Xét tứ giác \[AMHN\], có \[\widehat {HNA} + \widehat {HMA} = {180^{\rm{o}}}\], hai góc \[\widehat {HNA}\] và \[\widehat {HMA}\] ở vị trí đối nhau. Do đó tứ giác \[AMHN\]nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\].

b) Xét \[\Delta AHB\] vuông tại \[H\], có đường cao \[HM\], ta có \[A{H^2} = AM \cdot AB\]

\[\Delta AHC\] vuông tại \[H\], có đường cao \[HN\], ta có \[A{H^2} = AN \cdot AC\]

Do đó \[AM \cdot AB = AN \cdot AC\] hay \[\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\]

Lại có\[\widehat A\] chung nên \[\Delta AMN\, \sim \Delta ACB \Rightarrow \widehat {ANM} = \widehat {ABC}\].

Kẻ \[AO\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm \[K\]. Ta có \[\widehat {ABC} = \widehat {AKC}\]. Do đó \[\widehat {ANM} = \widehat {AKC}\] (1)

Mặt khác, \[Q\] thuộc đường tròn tâm \[A\], bán kính \[AH\] nên \[AQ = AH\].

\[A{Q^2} = A{H^2} = AN \cdot AC \Rightarrow \frac{{AQ}}{{AN}} = \frac{{AC}}{{AQ}} \Rightarrow \Delta AQC\, \sim \Delta ANQ \Rightarrow \widehat {AQC} = \widehat {ANQ}\]

Tứ giác \[AQCK\]nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\]nên \[\widehat {AQC} + \widehat {AKC} = {180^{\rm{o}}}\].

Suy ra \[\widehat {ANQ} + \widehat {AKC} = {180^{\rm{o}}}\]. (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {ANM} + \widehat {ANQ} = {180^{\rm{o}}}\] hay ba điểm \[M,\,N,\,Q\] thẳng hàng.

c) Gọi giao điểm thứ hai của đường tròn \[\left( O \right)\]và đường tròn tâm \[A\], bán kính \[AH\] là \[P\]. Chứng minh tương tự ý b) ta có ba điểm \[M,\,N,\,P\] thẳng hàng.

Gọi \[\Delta \] là tiếp tuyến với đường tròn \[\left( O \right)\]tại \[K\]. Ta có \[PQ\, \bot \,AK\](tính chất đường kính và dây cung chắn bởi giao điểm của hai đường tròn) \[ \Rightarrow PQ\,{\rm{//}}\,\Delta \].

Vì \[A\] cố định, \[\left( O \right)\] cố định nên \[\Delta \] cố định. Do đó \[B,\,C\] khi thay đổi trên đường tròn \[\left( O \right)\]sao cho \[\Delta ABC\] luôn là tam giác nhọn thì \[MN\] luôn song song với tiếp tuyến \[\Delta \] cố định của đường tròn \[\left( O \right)\].

Câu 6

Với \[a,\,b,\,c\] là ba số thực dương, chứng minh rằng:

\[\frac{{{a^2}}}{{\sqrt {3{a^2} + 8{b^2} + 14ab} }} + \frac{{{b^2}}}{{\sqrt {3{b^2} + 8{c^2} + 14bc} }} + \frac{{{c^2}}}{{\sqrt {3{c^2} + 8{a^2} + 14ca} }} \ge \frac{{a + b + c}}{5}\].

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Bright

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý