Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 1)

Cho hai biểu thức:

$A=\frac{x}{\sqrt{x}+1}$ và $B=\frac{3}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}+\frac{x+5}{x-1}$ với $x\ge 0;x\ne 1.$

1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=\frac{1}{64}.$

2) Chứng minh $B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}.$

3) Xét biểu thức P = A.B. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\sqrt{P}.$

Đầu năm 2022, hai công ty chế biến nông sản dự định xuất khẩu tổng cộng 3 000 tấn nông sản. Do thực tế dịch bệnh Covid-19 diễn biến phức tạp nên sản lượng xuất khẩu nông sản của công ty thứ nhất giảm 15% công ty thứ hai giảm 10%. Vì vậy, cả hai công ty chỉ xuất khẩu được 2 640 tấn nông sản. Hỏi ban đầu, mỗi công ty dự định xuất khẩu bao nhiêu tấn nông sản?

Cho phương trình bậc hai $x^2-\left(m+2\right)x+2m=0$ (m là tham số).

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm $x_1,x_2$ với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1^2+\left(m+2\right)x_2=12.$

Cho nửa đường tròn (O;R), đường kính AB. Gọi Ax là tia tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm M bất kì sao cho AM > R, MB cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là K. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với MO tại I, AI cắt nửa đường tròn tại C (C khác A). Qua C kẻ CH vuông góc với $AB\left(H\in AB\right),$ CH cắt MB tại N

1) Chứng minh bốn điểm A, I, K, M cùng nằm trên một đường tròn.

2) Chúng minh $\widehat{IKB}=\widehat{ACH}$ và IN // AB

3) Đường thẳng qua H và song song với AC cắt BI tại P. Chứng minh $NP\perp AC.$

1) Sau khi điều tra số học sinh trong 40 lớp học (đơn vị: học sinh), người ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây:

Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [40, 42)

2) Hình vẽ dưới đây mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm 12 phần bằng nhau và ghi các số \(1,\,\,2,\,\,3,\,\, \ldots ,\,\,11,\,\,12;\) chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa.

Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần” và biến cố \(M:\) “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 4”. Tính xác suất của biến cố

 

Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{3}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{2\sqrt x  + 3}}{{4 - x}}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 4.\)

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9.\)

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{x - 4}}.\)

3) Xét biểu thức \(P = AB.\) Chứng minh \(P < {P^2}.\)

Trong buổi thăm quan dã ngoại, mỗi lớp khối 9 được chuẩn bị một tấm bạt hình chữ nhật \(ABCD\) cùng loại, có chiều dài 10 m và chiều rộng 6 m; với \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \[AD,\,\,BC\] (hình 1).

Mỗi lớp sử dụng tấm bạt như trên để dựng thành chiếc lều có dạng hình lăng trụ đứng tam giác (hình 2); hai đáy hình lăng trụ là hai tam giác cân: tam giác \(AMD\) và tam giác \(BNC,\) với độ dài cạnh đáy của hai tam giác cân này là \(x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\) (Tấm bạt chỉ sử dụng để dựng thành hai mái lều, không trải thành đáy lều). Tìm \(x\) để thể tích không gian trong lều là lớn nhất.