$ = \frac{{3a + \sqrt {9a} - 3}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}} - \frac{{a - 1}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}} - \frac{{a - 4}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}$

$ = \frac{{a + 3\sqrt a + 2}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}$

$ = \frac{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}$

$ = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 1}}.$

b) $P = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 1}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt a - 1}}$.

Ta có $P \in \mathbb{Z}$ khi và chỉ khi $\frac{2}{{\sqrt a - 1}} \in \mathbb{Z}$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt a - 1 = - 1\\\sqrt a - 1 = - 2\\\sqrt a - 1 = 1\\\sqrt a - 1 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0{\rm{ (N)}}\\{\rm{VN}}\\a = 4{\rm{ }}\left( {\rm{N}} \right)\\a = 9{\rm{ (N)}}{\rm{.}}\end{array} \right.{\rm{ }}$

Vậy $a = 0;{\rm{ }}a = 4;{\rm{ }}a = 9$thì $P \in \mathbb{Z}$.

Câu 2/7

a) Cho phương trình $5{x^2} + mx - 28 = 0$, $m$ là tham số.
Tìm $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ phân biệt thỏa mãn $5{x_1} + 2{x_2} = 1$.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $\Delta = {m^2} + 560 > 0$ nên phương trình $\left( 1 \right)$ luôn có hai nghiệm ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ phân biệt.

Theo định lí Vi-ét ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{m}{5} & & \left( 1 \right)\\{x_1} \cdot {x_2} = - \frac{{28}}{5} & & \left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ $\left( 1 \right)$ và giả thiết ta có

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{m}{5}\\5{x_1} + 2{x_2} = 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - \frac{{m + 1}}{3}\\{x_1} = \frac{{2m + 5}}{{15}}\end{array} \right.$

Thay các giá trị ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ vừa tìm được vào $\left( 2 \right)$ ta được

$ \Leftrightarrow \left( {\frac{{2m + 5}}{{15}}} \right)\left( { - \frac{{m + 1}}{3}} \right) = - \frac{{28}}{5} \Leftrightarrow 2{m^2} + 7m + 5 = 252$

$ \Leftrightarrow 2{m^2} + 7m - 247 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 13\\m = \frac{{19}}{2}.\end{array} \right.$

Vậy các giá trị $m$ cần tìm là $m = - 13;{\rm{ }}m = - \frac{{19}}{2}.$

Câu 3/7

Giải phương trình: $(x + 4) (x - 2) = 2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 5}$

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện: ${x^2} + 2x - 5 \ge 0.$

Ta có $\left( {x + 4} \right)\left( {x - 2} \right) = 2\sqrt {{x^2} + 2x - 5} $

$ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 2\sqrt {{x^2} + 2x - 5} $

$ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 5 - 2\sqrt {{x^2} + 2x - 5} - 3 = 0.$

Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 2x - 5} ,{\rm{ }}t \ge 0.$

Ta có phương trình

Với $t = 3$ ta có $\sqrt {{x^2} + 2x - 5} = 3$ $ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 5 = 9$

$ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 14 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 - \sqrt {15} \\x = - 1 + \sqrt {15} .\end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - 1 \pm \sqrt {15} $.

Câu 4/7

Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + {y^2} - 3xy + 7x - 5y + 6 = 0\\4{x^2} - {y^2} + 9x + 9 = \sqrt {2x + y + 2} + \sqrt {x + 4y + 1} \end{array} \right.\].

Xem đáp án

Lời giải

\[\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + {y^2} - 3xy + 7x - 5y + 6 = 0 & & (1)\\4{x^2} - {y^2} + 9x + 9 = \sqrt {2x + y + 2} + \sqrt {x + 4y + 1} & (2)\end{array} \right.\]

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 2 \ge 0\\x + 4y + 1 \ge 0.\end{array} \right.$

Xét phương trình $\left( 1 \right)$: \[2{x^2} + {y^2} - 3xy + 7x - 5y + 6 = 0\]

$ \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {7 - 3y} \right)x + {y^2} - 5y + 6 = 0$ (*)

Ta xem (*) là phương trình bậc hai theo biến $x$. Biệt thức

$Δ_{x} = {(7 - 3 y)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (y^{2} - 5 y + 6) = {(y - 1)}^{2}$

Phương trình (*) có hai nghiệm

$\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3y - 7 + y - 1}}{4} = y - 2\\x = \frac{{3y - 7 - \left( {y - 1} \right)}}{4} = \frac{{y - 3}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = x + 2\\y = 2x + 3.\end{array} \right.$

+) Với $y = x + 2$, thay vào phương trình $\left( 2 \right)$ ta được:

$3{x^2} + 5x + 5 = \sqrt {3x + 4} + \sqrt {5x + 9} $

$ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3x + \left[ {\left( {x + 2} \right) - \sqrt {3x + 4} } \right] + \left[ {\left( {x + 3} \right) - \sqrt {5x + 9} } \right] = 0$

$ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + x} \right) + \frac{{{x^2} + x}}{{x + 2 + \sqrt {3x + 4} }} + \frac{{{x^2} + x}}{{x + 3 + \sqrt {5x + 9} }} = 0$

$ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right)\left[ {3 + \frac{1}{{x + 2 + \sqrt {3x + 4} }} + \frac{1}{{x + 3 + \sqrt {5x - 9} }}} \right] = 0$ (**)

Với điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4 \ge 0\\5x + 9 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge - \frac{4}{3}$, ta có

$3 + \frac{1}{{x + 2 + \sqrt {3x + 4} }} + \frac{1}{{x + 3 + \sqrt {5x - 9} }} > 0$

Do đó $\left( {**} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 & \Rightarrow y = 2\\x = - 1 & \Rightarrow y = 1.\end{array} \right.$

+) Với $y = 2x + 3$, thay vào phương trình $\left( 2 \right)$ ta được

$\sqrt {4x + 5} + \sqrt {9x + 13} + 3x = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {4x + 5} - 1} \right) + \left( {\sqrt {9x + 13} - 2} \right) + 3x + 3 = 0$

$ \Leftrightarrow \frac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {4x + 5} + 1}} + \frac{{9\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {9x + 13} + 2}} + 3\left( {x + 1} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {\frac{4}{{\sqrt {4x + 5} + 1}} + \frac{9}{{\sqrt {9x + 13} + 2}} + 3} \right] = 0$ (***)

Với điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}4x + 5 \ge 0\\9x + 13 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge - \frac{5}{4}$, ta có

$\frac{4}{{\sqrt {4x + 5} + 1}} + \frac{9}{{\sqrt {9x + 13} + 2}} + 3 > 0$.

Do đó $\left( {***} \right) \Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y = 1.$

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {0;2} \right),\left( { - 1;1} \right)} \right\}$.

Câu 5/7

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: ${x^2} + xy + {y^2} = {x^2}{y^2}$.
b) Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$. Chứng minh rằng $\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right)$ chia hết cho $24$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có ${x^2} + xy + {y^2} = {x^2}{y^2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow & {x^2} - {x^2}{y^2} + xy + {y^2} = 0\\ \Leftrightarrow & \left( {1 - {y^2}} \right){x^2} + xy + {y^2} = 0 & \left( 1 \right)\end{array}$

Ta xét các trường hợp:

Trường hợp 1: $1 - {y^2} = 0 \Leftrightarrow y = \pm 1$.

· Với $y = 1$ ta có ${x^2} + x + 1 = {x^2} \Leftrightarrow x = - 1$.

· Với $y = - 1$ ta có ${x^2} - x + 1 = {x^2} \Leftrightarrow x = 1.$

Trường hợp 2: $1 - {y^2} \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ne 1\\y \ne - 1.\end{array} \right.$

Xét phương trình bậc hai $\left( {1 - {y^2}} \right){x^2} + xy + {y^2} = 0$, có

${\Delta _x} = {y^2} - 4\left( {1 - {y^2}} \right){y^2} = {y^2}\left( {4{y^2} - 3} \right).$

· Nếu $y = 0$ ta có $x = 0.$

· Nếu $y \ne 0$, phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi $4{y^2} - 3$ là số chính phương.

Đặt $4{y^2} - 3 = {k^2}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$.

$4{y^2} - 3 = {k^2} \Leftrightarrow \left( {2y - k} \right)\left( {2y + k} \right) = 3$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm $\left( {0;0} \right),{\rm{ }}\left( {1; - 1} \right),{\rm{ }}\left( { - 1;1} \right).$

b) Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ là số lẻ, ta có $p = 2k + 1$

($k \in \mathbb{N},{\rm{ }}k > 1$).

Do đó ta có $\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) = 2k\left( {2k + 2} \right) = 4k\left( {k + 1} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}8$

· Nếu $p = 3k \Rightarrow p = 3$ (loại vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$).

· Nếu $p = 3k + 1$, ta có $\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) = 3k\left( {3k + 2} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}3$.

· Nếu $p = 3k + 2$, ta có $\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) = 3\left( {3k + 1} \right)\left( {k + 1} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}3$.

Vì $\gcd \left( {3;8} \right) = 1$ nên $\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}24$ với $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$.

Câu 6/7

Cho đoạn thẳng $AB$ và $C$là điểm nằm trên đoạn $AB$ sao cho $BC > AC$. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $AB$, vẽ nửa đường tròn đường kính $AB$ và nửa đường tròn đường kính $BC$. Lấy điểm $M$ thuộc nửa đường tròn đường kính $BC$ ($M \ne B$, $M \ne C$). Kẻ $MH$ vuông góc với $BC$$\left( {H \in BC} \right)$, đường thẳng $MH$ cắt nửa đường tròn đường kính $AB$ tại $K$. Hai đường thẳng $AK$ và $CM$ cắt nhau tại $E$.

a) Chứng minh tứ giác $BMKE$ nội tiếp và $B{E^2} = BA \cdot BC$.
b) Từ $C$ kẻ $CN$ vuông góc với $AB$ ($N$thuộc nửa đường tròn đường kính $AB$), gọi $P$ là giao điểm của $NK$và $CE$. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $BNE$ và $PNE$ cùng nằm trên đường thẳng $BP$.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho đoạn thẳng $AB$ và $C$là điểm nằm trên đoạn $AB$ sao cho $BC > AC$. (ảnh 1)$

a) Ta có: $\widehat {BME} = \widehat {BKE} = {90^ \circ }$ nên tứ giác $BMKE$ nội tiếp.

$ \Rightarrow \widehat {HKB} = \widehat {CEB}$

mà $\widehat {HKB} = \widehat {BAE}$ (cùng phụ với $\widehat {HKA}$)

$ \Rightarrow \widehat {BAE} = \widehat {CEB}$.

$\Delta BEC$ đồng dạng với $\Delta BAE$ (vì $\widehat {ABE}$ chung và $\widehat {BAE} = \widehat {CEB}$)

Do đó $\frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{BC}}{{BE}} \Rightarrow B{E^2} = BC \cdot AB$.

b) Xét tam giác vuông $ABN$có $CN \bot AB \Rightarrow B{N^2} = BC \cdot AB$

mà $B{E^2} = BC \cdot AB$ suy ra $BN = BE$ hay $\Delta BNE$ cân tại $B$, suy ra $\widehat {BNE} = \widehat {BEN}$. $\left( 1 \right)$

Mặt khác, theo câu trên ta có $\widehat {CEB} = \widehat {BAE}$ và $\widehat {BAE} = \widehat {BNP}$ suy ra $\widehat {CEB} = \widehat {BNP}$. (2)

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\widehat {PNE} = \widehat {PEN}$ hay $\Delta PNE$ cân tại $P$ $ \Rightarrow NP = PE$.

Vì $NP = PE$ và $BN = BE$ nên $BP \bot NE$.

Suy ra $BP$ là đường phân giác của các góc $\widehat {EBN}$ và $\widehat {EPN}$.

Do đó tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $BNE$ và $PNE$ cùng nằm trên đường thẳng $BP$.

Câu 7/7

a) Cho một bảng gồm $2023$ hàng, $2023$ cột. Các hàng được đánh số từ $1$ đến $2023$ từ trên xuống dưới; các cột đánh số từ $1$ đến $2023$ từ trái qua phải. Viết các số tự nhiên liên tiếp $0,{\rm{ }}1,{\rm{ }}2, \ldots $vào các ô của bảng theo đường chéo zíc-zắc (như hình vẽ bên). Hỏi số $2024$ được viết ở hàng nào, cột nào? Vì sao?

$a) Cho một bảng gồm $2023$ hàng, $2023$ cột. Các hàng được đánh số từ (ảnh 1)$

b) Cho $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ là các số dương. Chứng minh:
$\frac{{bc}}{{2a + b + c}} + \frac{{ca}}{{2b + c + a}} + \frac{{ab}}{{2c + a + b}} \le \frac{{a + b + c}}{4}$.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 1/7 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho \(P = \frac{{3a + \sqrt {9a} - 3}}{{a + \sqrt a - 2}} - \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{\sqrt a - 2}}{{1 - \sqrt a }}{\rm{ }}\)với \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 1\).

a) Rút gọn biểu thức \(P\).
b) Tìm \(a\) nguyên để biểu thức \(P\) nhận giá trị nguyên.

a) Cho phương trình \(5{x^2} + mx - 28 = 0\), \(m\) là tham số.
Tìm \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) phân biệt thỏa mãn \(5{x_1} + 2{x_2} = 1\).

Giải phương trình: $(x + 4) (x - 2) = 2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 5}$

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: \({x^2} + xy + {y^2} = {x^2}{y^2}\).
b) Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\). Chứng minh rằng \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right)\) chia hết cho \(24\).