Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Hà Tĩnh có đáp án

a)\(A = 5\sqrt 2  - 3\sqrt 2 \)

   \( = 2\sqrt 2 \)

b)Với \(x > 0;x \ne 1\)  ta có: \(B = \frac{{\sqrt x  - 1 + \sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}.\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\)

    \( = \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}}.\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }} = 2\)

a)Để hai đường thẳng \(({d_1})\) và \(({d_2})\) song song với nhau thì \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 = 3\\5 \ne  - 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow m = 4\). Vậy \(m = 4\) là giá trị cần tìm.

b)Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\\3x - 2y =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 2y = 8\\3x - 2y =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = 7\\3x - 2y =  - 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\3 - 2y =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\). Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {1;\,\,2} \right)\).

Ta có \[\Delta ' = {m^2} - ({m^2} - m - 1) = m + 1\]

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \[\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m >  - 1\]

Theo định lí Viet ta có\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = {m^2} - m - 1\end{array} \right.\]

Ta có  \(\frac{{{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {1 + {x_1}{x_2}} \right)}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{{x_1}{x_2} + 3}}{{{{({x_1} + {x_2})}^2} + 2}} = \frac{1}{3}\)

Thay vào  ta được phương trình \(\frac{{{m^2} - m - 1 + 3}}{{{{(2m)}^2} + 2}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{{m^2} - m + 2}}{{4{m^2} + 2}} = \frac{1}{3}\)

\( \Leftrightarrow 3({m^2} - m + 2) = 4{m^2} + 2 \Leftrightarrow {m^2} + 3m - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 4\end{array} \right.\)

Đối chiếu điều kiện ta có \(m = 1\) thỏa mãn bài toán. 

Gọi số dãy ghế ban đầu trong phòng họp là \(x\,\,(x \in N,x \ge 3)\)

Số ghế ở mỗi dãy ban đầu là \(\frac{{104}}{x}\)(ghế)

Số ghế ở mỗi dãy sau khi thay đổi đủ chỗ cho 120 đại biểu là  \(\frac{{120}}{{x - 2}}\)(ghế)

Từ đó ta có phương trình \(\frac{{104}}{x} + 1 = \frac{{120}}{{x - 2}}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 18x - 208 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 8\\x = 26\end{array} \right.\)

Đối chiếu điều kiện ta được \(x = 26\) thỏa mãn. Vậy ban đầu Phòng họp có 26 dãy ghế.

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \[ACH\],

ta có: \[C{H^2} = A{C^2} - A{H^2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow CH = 4cm\]

Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông \[ABC\]

Ta có \[A{C^2} = CH.CB \Rightarrow BC = \frac{{25}}{4}\] cm.

 Áp dụng BĐT \({(x + y)^2} \le 2({x^2} + {y^2})\)

\[Q \ge \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 6({b^2} + {c^2})}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 6({c^2} + {a^2})}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 6({a^2} + {b^2})}}\]

\[ \Rightarrow 5Q + 3 \ge 6\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left[ {\frac{1}{{{a^2} + 6({b^2} + {c^2})}} + \frac{1}{{{b^2} + 6({c^2} + {a^2})}} + \frac{1}{{{c^2} + 6({a^2} + {b^2})}}} \right]\]

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}}\,\), với \(x;\,y;\,\,z > 0\)

ta có \[\frac{1}{{{a^2} + 6({b^2} + {c^2})}} + \frac{1}{{{b^2} + 6({c^2} + {a^2})}} + \frac{1}{{{c^2} + 6({a^2} + {b^2})}} \ge \frac{9}{{13({a^2} + {b^2} + {c^2})}}\]

\[5Q + 3 \ge 6\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\frac{9}{{13({a^2} + {b^2} + {c^2})}} \Leftrightarrow 5Q + 3 \ge \frac{{54}}{{13}} \Leftrightarrow Q \ge \frac{3}{{13}}\].

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng \(\frac{3}{{13}}\) khi \(a = b = c \ne 0\).