Cho phương trình \[{x^2} - 2mx + {m^2} - m - 1 = 0\] (\(m\) là tham số). Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,\,{x_2}\) thỏa mãn: \(\frac{{{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {1 + {x_1}{x_2}} \right)}} = \frac{1}{3}\).

Gọi số dãy ghế ban đầu trong phòng họp là \(x\,\,(x \in N,x \ge 3)\)

Số ghế ở mỗi dãy ban đầu là \(\frac{{104}}{x}\)(ghế)

Số ghế ở mỗi dãy sau khi thay đổi đủ chỗ cho 120 đại biểu là  \(\frac{{120}}{{x - 2}}\)(ghế)

Từ đó ta có phương trình \(\frac{{104}}{x} + 1 = \frac{{120}}{{x - 2}}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 18x - 208 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 8\\x = 26\end{array} \right.\)

Đối chiếu điều kiện ta được \(x = 26\) thỏa mãn. Vậy ban đầu Phòng họp có 26 dãy ghế.

 Áp dụng BĐT \({(x + y)^2} \le 2({x^2} + {y^2})\)

\[Q \ge \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 6({b^2} + {c^2})}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 6({c^2} + {a^2})}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 6({a^2} + {b^2})}}\]

\[ \Rightarrow 5Q + 3 \ge 6\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left[ {\frac{1}{{{a^2} + 6({b^2} + {c^2})}} + \frac{1}{{{b^2} + 6({c^2} + {a^2})}} + \frac{1}{{{c^2} + 6({a^2} + {b^2})}}} \right]\]

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}}\,\), với \(x;\,y;\,\,z > 0\)

ta có \[\frac{1}{{{a^2} + 6({b^2} + {c^2})}} + \frac{1}{{{b^2} + 6({c^2} + {a^2})}} + \frac{1}{{{c^2} + 6({a^2} + {b^2})}} \ge \frac{9}{{13({a^2} + {b^2} + {c^2})}}\]

\[5Q + 3 \ge 6\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\frac{9}{{13({a^2} + {b^2} + {c^2})}} \Leftrightarrow 5Q + 3 \ge \frac{{54}}{{13}} \Leftrightarrow Q \ge \frac{3}{{13}}\].

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng \(\frac{3}{{13}}\) khi \(a = b = c \ne 0\).