Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực khác không. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[Q = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 3{{(b + c)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 3{{(c + a)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 3{{(a + b)}^2}}}\].
Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực khác không. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[Q = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 3{{(b + c)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 3{{(c + a)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 3{{(a + b)}^2}}}\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Áp dụng BĐT \({(x + y)^2} \le 2({x^2} + {y^2})\)
\[Q \ge \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 6({b^2} + {c^2})}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 6({c^2} + {a^2})}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 6({a^2} + {b^2})}}\]
\[ \Rightarrow 5Q + 3 \ge 6\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left[ {\frac{1}{{{a^2} + 6({b^2} + {c^2})}} + \frac{1}{{{b^2} + 6({c^2} + {a^2})}} + \frac{1}{{{c^2} + 6({a^2} + {b^2})}}} \right]\]
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}}\,\), với \(x;\,y;\,\,z > 0\)
ta có \[\frac{1}{{{a^2} + 6({b^2} + {c^2})}} + \frac{1}{{{b^2} + 6({c^2} + {a^2})}} + \frac{1}{{{c^2} + 6({a^2} + {b^2})}} \ge \frac{9}{{13({a^2} + {b^2} + {c^2})}}\]
\[5Q + 3 \ge 6\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\frac{9}{{13({a^2} + {b^2} + {c^2})}} \Leftrightarrow 5Q + 3 \ge \frac{{54}}{{13}} \Leftrightarrow Q \ge \frac{3}{{13}}\].
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng \(\frac{3}{{13}}\) khi \(a = b = c \ne 0\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi số dãy ghế ban đầu trong phòng họp là \(x\,\,(x \in N,x \ge 3)\)
Số ghế ở mỗi dãy ban đầu là \(\frac{{104}}{x}\)(ghế)
Số ghế ở mỗi dãy sau khi thay đổi đủ chỗ cho 120 đại biểu là \(\frac{{120}}{{x - 2}}\)(ghế)
Từ đó ta có phương trình \(\frac{{104}}{x} + 1 = \frac{{120}}{{x - 2}}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 18x - 208 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 8\\x = 26\end{array} \right.\)
Đối chiếu điều kiện ta được \(x = 26\) thỏa mãn. Vậy ban đầu Phòng họp có 26 dãy ghế.
Lời giải
a)\(A = 5\sqrt 2 - 3\sqrt 2 \)
\( = 2\sqrt 2 \)
b)Với \(x > 0;x \ne 1\) ta có: \(B = \frac{{\sqrt x - 1 + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\)
\( = \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}}.\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }} = 2\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập