Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực khác không. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[Q = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 3{{(b + c)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 3{{(c + a)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 3{{(a + b)}^2}}}\].
Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực khác không. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[Q = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 3{{(b + c)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 3{{(c + a)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 3{{(a + b)}^2}}}\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Áp dụng BĐT \({(x + y)^2} \le 2({x^2} + {y^2})\)
\[Q \ge \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 6({b^2} + {c^2})}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 6({c^2} + {a^2})}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 6({a^2} + {b^2})}}\]
\[ \Rightarrow 5Q + 3 \ge 6\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left[ {\frac{1}{{{a^2} + 6({b^2} + {c^2})}} + \frac{1}{{{b^2} + 6({c^2} + {a^2})}} + \frac{1}{{{c^2} + 6({a^2} + {b^2})}}} \right]\]
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}}\,\), với \(x;\,y;\,\,z > 0\)
ta có \[\frac{1}{{{a^2} + 6({b^2} + {c^2})}} + \frac{1}{{{b^2} + 6({c^2} + {a^2})}} + \frac{1}{{{c^2} + 6({a^2} + {b^2})}} \ge \frac{9}{{13({a^2} + {b^2} + {c^2})}}\]
\[5Q + 3 \ge 6\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\frac{9}{{13({a^2} + {b^2} + {c^2})}} \Leftrightarrow 5Q + 3 \ge \frac{{54}}{{13}} \Leftrightarrow Q \ge \frac{3}{{13}}\].
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng \(\frac{3}{{13}}\) khi \(a = b = c \ne 0\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi số dãy ghế ban đầu trong phòng họp là \(x\,\,(x \in N,x \ge 3)\)
Số ghế ở mỗi dãy ban đầu là \(\frac{{104}}{x}\)(ghế)
Số ghế ở mỗi dãy sau khi thay đổi đủ chỗ cho 120 đại biểu là \(\frac{{120}}{{x - 2}}\)(ghế)
Từ đó ta có phương trình \(\frac{{104}}{x} + 1 = \frac{{120}}{{x - 2}}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 18x - 208 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 8\\x = 26\end{array} \right.\)
Đối chiếu điều kiện ta được \(x = 26\) thỏa mãn. Vậy ban đầu Phòng họp có 26 dãy ghế.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a)Để hai đường thẳng \(({d_1})\) và \(({d_2})\) song song với nhau thì \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 = 3\\5 \ne - 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow m = 4\). Vậy \(m = 4\) là giá trị cần tìm.
b)Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\\3x - 2y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 2y = 8\\3x - 2y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = 7\\3x - 2y = - 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\3 - 2y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\). Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {1;\,\,2} \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập