Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm học 2023 - 2024 Sở GD&ĐT Đà Nẵng có đáp án

Ta có \(A = \sqrt 4  + \sqrt {20}  - \sqrt 5  - 2\)

      \( = \sqrt {{2^2}}  + \sqrt {{2^2}\,.\,5}  - \sqrt 5  - 2\)

      \( = 2 + 2\sqrt 5  - \sqrt 5  - 2\)

      \[ = \left( {2 - 2} \right) + \left( {2\sqrt 5  - \sqrt 5 } \right)\]

      \[ = \sqrt 5 \]

Vậy \[A = \sqrt 5 \].

Với \(x > 0\) và \(x \ne 1\), ta có:

\[B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{1}{{x + \sqrt x }}} \right):\frac{{\sqrt x  - 1}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}\]

     \[ = \left[ {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt x  - 1}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}\]

     \[ = \left[ {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right]\,\,.\,\,\frac{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  - 1}}\]

     \[ = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\,.\,\,\frac{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  - 1}}\]

    \[ = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\].

Ta có \[B = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x }} > 1;\,\,\forall x \ne 1\].

Vậy với \(x > 0\) và \(x \ne 1\) thì \[B = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} > 1\].

a) • Vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\)

Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) là parabol có bề lõm hướng lên phía trên.

Bảng giá trị:

Vậy parabol \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) đi qua các điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right),\,\,A\left( { - 2;\,\,2} \right),\,\,B\left( { - 1;\,\,\frac{1}{2}} \right),\,\,C\left( { - 1;\,\,\frac{1}{2}} \right),\)\(\,\,D\left( { - 2;\,\,2} \right)\).

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) như sau:

b) • Cho \(y = 0 \Rightarrow  - x + b = 0 \Leftrightarrow x = b\)

Suy ra đường thẳng \(y =  - x + b\) cắt \(Ox\) tại \(E(b;\,\,0)\).

• Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 0 + b = b\)

Suy ra đường thẳng \(y =  - x + b\) cắt \(Oy\) tại \(F(0;\,\,b)\).

Xét \(\Delta OEF\) có:

• \(OE \bot OF\) (do \(Ox \bot Oy\))

• \(OE = OF = b\) (do \(b > 0\))

Do đó \(\Delta OEF\) vuông cân tại \(O\).

Khi đó, tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OEF\) là trung điểm của cạnh huyền \(EF\).

Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OEF\) là \(H\).

Ta có \(HM \bot Ox;\,\,OF \bot Ox\) suy ra \(HM\,{\rm{//}}\,OF\) (từ vuông góc đến song song).

Mà \(H\) là trung điểm của \(EF\) nên \(M\) là trung điểm của \(OE\) (theo tính chất đường trung bình của tam giác).

Do đó \(HM\) là đường trung bình của tam giác \(OEF\) suy ra \(HM = \frac{1}{2}OF = \frac{b}{2}\).

Chứng minh tương tự, ta tính được \(HN = \frac{b}{2}\).

Do đó \(H\left( {\frac{b}{2};\,\,\frac{b}{2}} \right)\).

Để tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OEF\) là một điểm thuộc \((P)\) khi và chỉ khi \(H\left( {\frac{b}{2};\,\,\frac{b}{2}} \right) \in (P)\).

Khi đó \(\frac{b}{2} = \frac{1}{2}\,.\,{\left( {\frac{b}{2}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{b}{2} = \frac{{{b^2}}}{8}\)

\( \Leftrightarrow {b^2} - 4b = 0\)

\( \Leftrightarrow b\left( {b - 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b - 4 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\,\,{\rm{(KTM)}}\\b = 4\,\,{\rm{(TM)}}\end{array} \right.\)

Vậy \(b = 4\) là giá trị cần tìm.

Gọi số thứ nhất là \(a\), số thứ hai là \(b\) (\(0 < a,\,\,b < 23\)).

Theo đề bài:

• Tổng của hai số bằng \(23\), ta có phương trình: \(a + b = 23\);

• Hai lần số này hơn số kia \(1\) đơn vị, ta có phương trình: \(2a - b = 1\).

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 23\\2a - b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 23\\3a = 24\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 23\\a = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\,\,(TM)\\b = 15\,\,(TM)\end{array} \right.\).

Vậy số thứ nhất là \(8\), số thứ hai là \(15\).

Đổi 1 giờ 12 phút = \(\frac{6}{5}\) giờ; 40 phút = \(\frac{2}{3}\) giờ.

Gọi thời gian đội A làm riêng hoàn thành công việc là \(x\) (giờ) \(\left( {x > \frac{6}{5}} \right)\);

       thời gian đội B làm riêng hoàn thành công việc là \(y\) (giờ) \(\left( {y > \frac{6}{5}} \right)\)

Trong \(1\) giờ, đội A làm được \(\frac{1}{x}\) công việc; đội B làm được \(\frac{1}{y}\) công việc

Suy ra trong \(1\) giờ hai đội làm được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (công việc)

Theo đề bài, hai đội làm cùng nhau thì sau 1 giờ 12 phút = \(\frac{6}{5}\) giờ xong công việc nên ta có phương trình:

\(\frac{6}{5}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)        (1)

Theo đề bài, nếu đội A làm 40 phút = \(\frac{2}{3}\) giờ và đội B làm \(2\) giờ thì xong công việc, nên ta có phương trình: \[\frac{2}{{3x}} + \frac{2}{y} = 1\]    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\\\frac{2}{{3x}} + \frac{2}{y} = 1\end{array} \right.\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = u\\\frac{1}{y} = v\end{array} \right.\), hệ phương trình trở thành:

\[\left\{ \begin{array}{l}u + v = \frac{5}{6}\\\frac{2}{3}u + 2v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{2}{3}u + 2v = 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{2}{3}u + 2\left( {\frac{5}{6} - u} \right) = 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{2}{3}u + \frac{5}{3} - 2u = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\\frac{4}{3}u = \frac{2}{3}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{6} - u\\u = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{2}\\v = \frac{1}{3}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{2}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\,\,{\rm{(TM)}}\]

Vậy thời gian đội A làm riêng hoàn thành công việc là 2 giờ; thời gian đội B làm riêng hoàn thành công việc là 3 giờ.