Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Thừa Thiên Huế có đáp án

c)\[\begin{array}{l}C = \frac{x}{{x - 4}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}\\ \Leftrightarrow C = \frac{x}{{x - 4}} + \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\ \Leftrightarrow C = \frac{{x + \sqrt x  - 2 - \sqrt x  - 2}}{{x - 4}}\\ \Leftrightarrow C = \frac{{x - 4}}{{x - 4}} = 1\end{array}\]

Vậy \[C = 1\]

b)Đường thẳng \[\left( d \right)\] cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, suy ra:

\[x = 0;y = 2\]

Thay \[x = 0;y = 2\] vào \[\left( d \right)\], ta được \[2 = 0 - m \Leftrightarrow m =  - 2\]

Vậy \[m =  - 2\] thì đường thẳng \[\left( d \right)\] cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

c)Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

                     \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} =  - \frac{{ - 2(m + 3)}}{1} = 2\left( {m + 3} \right)}\\{{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{2m + 1}}{1} = 2m + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}(3)} \right.\]

Theo đề bài, ta có:      \[x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1} - 2{x_2} = 10\]

                        \[ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 10\]

Thay (3) vào phương trình, ta có:

                     \[\begin{array}{l}{\left[ {2\left( {m + 3} \right)} \right]^2} - 2\left( {2m + 1} \right) - 2.2(m + 3) = 10\\ \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} + 6m + 9} \right) - 2\left( {2m + 1} \right) - 4\left( {m + 3} \right) - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 24m + 36 - 4m - 2 - 4m - 12 - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 16m + 12 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\]

Ta có: \[4 - 16 + 12 = 0\] nên phương trình (*) có 2 nghiệm là \[{m_1} =  - 1;{m_2} =  - 3\]

Vậy, với \[m =  - 1\] hoặc \[m =  - 3\] thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\] thỏa mãn \[x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1} - 2{x_2} = 10\]

c)Ta có: \[GC = GB\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

               \[OC = OB\]  (bán kính)

Nên \[OG\] là đường trung trực của \[BC\], suy ra \[OG \bot BC\]

Mặt khác: \[OE \bot BC\], nên ba điểm \[O,E,G\] thẳng hàng.

Ta có: \[OA = {\rm{OF; DA = DF}}\]; nên \[{\rm{OD}}\] là đường trung trực của \[{\rm{AF}}\]

Do đó \[{\rm{OD}} \bot {\rm{AF}}\] tại  \[H\](5)

Tam giác \[OCG\] vuông tại  \[C\] nên \[OE.OG = O{C^2}\]

Tam giác \[OAD\] vuông tại \[H\] nên \[O{A^2} = OH.OD\]

Mà \[OA = OC\] nên  \[OE.OG = OH.OD\]. Suy ra \[EHDG\] là tứ giác nội tiếp.

Mà  \[\widehat {GED} = 90^\circ \] nên \[\widehat {GHD} = 90^\circ \] (6)

Từ (5) và (6), suy ra \[A,F,G\] thẳng hàng.