TH1: ${(2x - y + 1)^2} + 4{(y + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1\end{array} \right.$ .

TH2: ${(2x - y + 1)^2} + 4{(y + 1)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\4{(y + 1)^2} = 1\end{array} \right.\,\,(vn)\\\left\{ \begin{array}{l}{(2x - y + 1)^2} = 1\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(2x + 2)^2} = 1\\y = - 1\end{array} \right.\,\,(vn).\end{array} \right.$

Vậy có đúng một cặp số thỏa mãn (x; y) = (-1; -1).

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \Leftrightarrow ab + bc + ca = 0$

Ta có : ${a^2} + 2bc = {a^2} + bc + ( - ab - ca) = (a - b)(a - c).$

Tương tự có : ${b^2} + 2ca = (b - c)(b - a);\,\,\,{c^2} + 2ab = (c - a)(c - b).\,\,\,$

$\frac{1}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{1}{{{b^2} + 2ca}} + \frac{1}{{{c^2} + 2ab}} = \frac{1}{{(a - b)(a - c)}} + \frac{1}{{(b - c)(b - a)}} + \frac{1}{{(c - a)(c - b)}}$

$ = \frac{1}{{(a - b)(a - c)}} - \frac{1}{{(b - c)(a - b)}} + \frac{1}{{(a - c)(b - c)}} = \frac{{b - c - (a - c) + a - b}}{{(a - b)(b - c)(a - c)}} = 0$

Câu 2/6

a) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}(x + 2)(2 - y) = 8\\\sqrt {11 - 4(x - y)} + {x^2}{y^2} + 1 = 3xy.\end{array} \right.$

b) Giải phương trình $\sqrt {{x^2} + 3x + 11} - \sqrt {x + 2} = 2x - 2.$

Lời giải

ĐK: $11 - 4(x - y) \ge 0$

$(x + 2)(2 - y) = 8 \Leftrightarrow 2\left( {x - y} \right) - xy = 4 \Rightarrow 2\left( {x - y} \right) = 4 + xy$

Thế vào phương trình (2) ta có:

$\sqrt {11 - 2(4 + xy)} + {x^2}{y^2} - 3xy + 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {3 - 2xy} + {x^2}{y^2} - 3xy + 1 = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {3 - 2xy} - 1} \right) + {x^2}{y^2} - 3xy + 2 = 0$

$ \Leftrightarrow \frac{{2(1 - xy)}}{{\sqrt {3 - 2xy} + 1}} + (1 - xy)(2 - xy) = 0$$ \Leftrightarrow \left( {1 - xy} \right)\left( {\frac{2}{{\sqrt {3 - 2xy} + 1}} + 2 - xy} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow xy = 1$ (Do $\frac{2}{{\sqrt {3 - 2xy} + 1}} + 2 - xy > 0,\,\,\,\forall xy \le \frac{3}{2}$)

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}xy = 1\\2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{x}\\2\left( {x - \frac{1}{x}} \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{x}\\2{x^2} - 5x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{x}\\x = \frac{{5 \pm \sqrt {41} }}{4}\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

$\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{{5 + \sqrt {41} }}{4};\frac{{ - 5 + \sqrt {41} }}{4}} \right)$ và $\left( {\frac{{5 - \sqrt {41} }}{4};\frac{{ - 5 - \sqrt {41} }}{4}} \right)$

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + 11 \ge 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge - 2$

$\sqrt {{x^2} + 3x + 11} - \sqrt {x + 2} = 2x - 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 1)}^2} + 5(x + 2)} - \sqrt {x + 2} = 2(x - 1)$

Xét \[x = - 2\] (không phải là nghiệm)

Xét \[x > - 2\] Chia hai vế phương trình cho\[\sqrt {x + 2} \] ta được:$\sqrt {\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{x + 2}} + 5} - 1 = \frac{{2(x - 1)}}{{\sqrt {x + 2} }}.$ Đặt \[t = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {x + 2} }}\] ta được phương trình:$\sqrt {{t^2} + 5} - 1 = 2t$

$ \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} + 5} = 2t + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t + 1 \ge 0\\{t^2} + 5 = {(2t + 1)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge - \frac{1}{2}\\3{t^2} + 4t - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge - \frac{1}{2}\\t = - 2;\,\,t = \frac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}$

Khi \[t = \frac{2}{3}\] ta được phương trình:\[\frac{{x - 1}}{{\sqrt {x + 2} }} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 2} = 3(x - 1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\4(x + 2) = 9{(x - 1)^2}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\9{x^2} - 22x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x = \frac{{11 \pm 4\sqrt 7 }}{9}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{11 + 4\sqrt 7 }}{9}.\]

Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm \[x = \frac{{11 + 4\sqrt 7 }}{9}\]

Chú ý: Học sinh có thể giải theo cách: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}a = x - 1\\b = \sqrt {x + 2} \ge 0.\end{array} \right.$

Câu 3/6

a) Tìm tất cả các số thực $x$ để $p = \frac{5}{{x - \sqrt x + 2}}$ là số nguyên.

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ lớn hơn 1 thì $A = {n^{2024}} + {n^{2023}} + {n^4} - n + 1$ không phải là số nguyên tố.

Lời giải

Ta có $p = \frac{5}{{x - \sqrt x + 2}} = \frac{5}{{{{\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{4}}}$

$ \Rightarrow 0 < p \le \frac{5}{{\frac{7}{4}}} = \frac{{20}}{7} \Rightarrow p = 1;\,\,2$

TH1: $p = 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{x - \sqrt x + 2}} = 1 \Leftrightarrow x - \sqrt x - 3 = 0 \Rightarrow \sqrt x = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \Rightarrow x = \frac{{7 + \sqrt {13} }}{2}.$

TH2: $p = 2 \Leftrightarrow \frac{5}{{x - \sqrt x + 2}} = 2 \Leftrightarrow 2x - 2\sqrt x - 1 = 0 \Rightarrow \sqrt x = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}.$

Vậy có hai giá trị cần tìm là $x = \frac{{7 + \sqrt {13} }}{2};\,\,\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}.$

Ta có $A = {n^{2024}} + {n^{2023}} + {n^4} - n + 1 = \left( {{n^{2024}} - {n^2}} \right) + \left( {{n^{2023}} - n} \right) + \left( {{n^4} + {n^2} + 1} \right)$

$ = {n^2}\left( {{n^{2022}} - 1} \right) + n\left( {{n^{2022}} - 1} \right) + \left( {{n^4} + {n^2} + 1} \right) = \left( {{n^2} + n} \right)\left( {{n^{2022}} - 1} \right) + \left( {{n^4} + {n^2} + 1} \right)$

Ta có $\left( {{n^2} + n} \right)\left( {{n^{2022}} - 1} \right) = \left( {{n^2} + n} \right)\left[ {{{\left( {{n^3}} \right)}^{674}} - 1} \right]$

$ = \left( {{n^2} + n} \right)\left( {{n^3} - 1} \right).B = \left( {{n^2} + n} \right)\left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right).B$ chia hết cho ${n^2} + n + 1$

Lại có ${n^4} + {n^2} + 1 = {n^4} + 2{n^2} + 1 - {n^2} = {\left( {{n^2} + 1} \right)^2} - {n^2}$

$ = \left( {{n^2} + n + 1} \right)\left( {{n^2} - n + 1} \right)$ chia hết cho ${n^2} + n + 1$

Vậy $A = {n^{2024}} + {n^{2023}} + {n^4} - n + 1$ chia hết cho ${n^2} + n + 1$ với mọi số tự nhiên $n$ lớn hơn 1 nên $A$ không phải là số nguyên tố.

Câu 4/6

Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ cố định, $C$ là một điểm chạy trên đường tròn $\left( O \right)$ không trùng với $A$ và $B.$ Các tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $A$ và $C$ cắt nhau tại điểm $M.$ Đường thẳng $MB$ cắt $AC$ tại $F$ và cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $E$ ($E$ khác $B$).

a) Gọi $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC.$ Chứng minh tam giác $OEM$đồng dạng với tam giác $BHM.$

b) Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên đường thẳng $AB.$ Hai đường thẳng $MB$ và $CK$ cắt nhau tại $I.$ Tính tỷ số $\frac{{FI}}{{AB}}$ khi tổng diện tích hai tam giác $IAC$ và $IBC$ lớn nhất.

c) Chứng minh rằng $\frac{1}{{BM}} + \frac{1}{{BF}} = \frac{2}{{BE}}.$

Lời giải

$Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ cố định, $C$ là một điểm chạy trên đường tròn (ảnh 1)$

a) Ta có $ME.MB = M{A^2}$ do $\Delta MAB$ vuông tại A có đường cao AE.

Lại có $MH.MO = M{A^2}$ do $\Delta MAO$ vuông tại A có đường cao AH.

$ \Rightarrow ME.MB = MH.MO$

$ \Rightarrow \frac{{ME}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MB}}$\[ \Rightarrow \Delta OME \sim \Delta BMH\]

$Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ cố định, $C$ là một điểm chạy trên đường tròn (ảnh 2)$

b) Ta có$MA = MC,\,\,OA = OC$ suy ra đường thẳng $MO$là trung trực đoạn thẳng $AC$nên $MO \bot AC$. Kéo dài $BC$ cắt $AM$ tại $P$ nên $MO//PB$$ \Rightarrow M$ trung điểm $AP.$

Ta có $\frac{{IC}}{{MP}} = \frac{{BI}}{{BM}}$ và $\frac{{IK}}{{MA}} = \frac{{BI}}{{BM}}$$ \Rightarrow \frac{{IC}}{{MP}} = \frac{{IK}}{{MA}} \Rightarrow IC = IK$

Suy ra $I$ trung điểm của đoạn thẳng $CK$.

$ \Rightarrow {S_{\Delta ACI}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ACK}};{S_{\Delta BCI}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta BCK}}\,\, \Rightarrow {S_{\Delta AIC}} + {S_{\Delta BCI}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}}\, = \frac{1}{4}CK.AB$

Do đoạn thẳng $AB$không đổi nên tổng diện tích hai tam giác $IAC$ và $IBC$lớn nhất. lớn nhất khi $C$ điểm chính giữa hay $K$ trùng tâm $O.$

Khi đó tứ giác$AOCM$ là hình vuông.

$ \Rightarrow \frac{{FI}}{{FM}} = \frac{{IC}}{{AM}} = \frac{1}{2} \Rightarrow FI = \frac{1}{3}IM = \frac{1}{6}BM.$ Lại có $B{M^2} = A{B^2} + M{A^2} = \frac{{5A{B^2}}}{4}$

$ \Rightarrow BM = \frac{{AB\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow \frac{{FI}}{{AB}} = \frac{1}{6}.\frac{{\frac{{AB\sqrt 5 }}{2}}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{12}}.$

$Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ cố định, $C$ là một điểm chạy trên đường tròn (ảnh 3)$

.c) Ta có

\[\Delta MEC \sim \Delta MCB \Rightarrow \frac{{ME}}{{MC}} = \frac{{CE}}{{CB}}\]

\[\Delta MEA \sim \Delta MAB \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{EA}}{{AB}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{ME}}{{MC}}.\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{CE}}{{CB}}.\frac{{EA}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{ME}}{{MB}} = \frac{{CE}}{{CB}}.\frac{{AE}}{{AB}}\,\,(1).\]

.Mặt khác

\[\Delta FEC \sim \Delta FAB \Rightarrow \frac{{FE}}{{FA}} = \frac{{CE}}{{AB}}\]

\[\Delta FAE \sim \Delta FBC \Rightarrow \frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{AE}}{{BC}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{FE}}{{FA}}.\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{CE}}{{AB}}.\frac{{EA}}{{CB}} \Rightarrow \frac{{FE}}{{FB}} = \frac{{CE}}{{CB}}.\frac{{AE}}{{AB}}\,\,(2).\]

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \frac{{ME}}{{MB}} = \frac{{FE}}{{FB}}\,\,\]

\[ \Rightarrow \frac{{MB - EB}}{{MB}} = \frac{{EB - FB}}{{FB}}\,\, \Rightarrow 1 - \frac{{EB}}{{MB}} = \frac{{EB}}{{FB}} - 1 \Rightarrow 2 = \,\frac{{EB}}{{MB}} + \frac{{EB}}{{FB}}\]

\[ \Rightarrow 2 = EB\left( {\frac{1}{{MB}} + \frac{1}{{FB}}} \right) \Rightarrow \frac{1}{{BM}} + \frac{1}{{BF}} = \frac{2}{{BE}}\] (ĐPCM).

Câu 5/6

Cho các số thực \[a,\,\,b,\,\,c\] thỏa mãn $a > b > c;\,\,ab + bc + ca > 0$ và $a + b + c = 1$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{a - c}} + \frac{5}{{2\sqrt {ab + bc + ca} }}$.

Lời giải

Ta sử dụng các bất đẳng thức $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} \ge \frac{4}{{m + n}} \ge \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {{m^2} + {n^2}} }}$ với $m > 0;n > 0$

Dấu bằng xảy ra khi $m = n$

$P = \frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{a - c}} + \frac{5}{{2\sqrt {ab + bc + ca} }}$

$P \ge \frac{4}{{a - c}} + \frac{1}{{a - c}} + \frac{5}{{2\sqrt {ab + bc + ca} }} = \frac{5}{{a - c}} + \frac{5}{{2\sqrt {ab + bc + ca} }}$

Lại có: $\frac{5}{{a - c}} + \frac{5}{{2\sqrt {ab + bc + ca} }} \ge 5\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {{{(a - c)}^2} + 4(ab + bc + ca)} }} = \frac{{10\sqrt 2 }}{{\sqrt {{{(a + c)}^2} + 4b(a + c)} }}$

$ \Rightarrow P \ge \frac{{10\sqrt 2 }}{{\sqrt {(a + c)(a + c + 4b)} }} = \frac{{10\sqrt 2 }}{{\sqrt {(1 - b)(1 + 3b)} }}\,\,\,\,\left( {do\,\,a + c = 1 - b} \right)$

$ \Rightarrow P \ge \frac{{10\sqrt 6 }}{{\sqrt {\left( {3 - 3b} \right)\left( {1 + 3b} \right)} }} \ge \frac{{10\sqrt 6 }}{{\frac{{3 - 3b + 1 + 3b}}{2}}} = 5\sqrt 6 $

Giá trị nhỏ nhất của P bằng $5\sqrt 6 $ khi

$\left\{ \begin{array}{l}a > b > c\\a + b + c = 1\\a - b = b - c\\a - c = 2\sqrt {b(a + c) + ca} \\3 - 3b = 1 + 3b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > b > c\\b = \frac{1}{3}\\a + c = \frac{2}{3}\\a - c = 2\sqrt {\frac{2}{9} + ca} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{2 + \sqrt 6 }}{6}\\b = \frac{1}{3}\\c = \frac{{2 - \sqrt 6 }}{6}\end{array} \right.$

Câu 6/6

Cho $x,\,\,y,\,\,z$ là các số chính phương. Chứng minh rằng $\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\left( {z + 1} \right)$ luôn viết được dưới dạng tổng của hai số chính phương.

Lời giải

Vì $x;\,\,y;\,\,z$ là các số chính phương ta viết thành $x = {a^2};\,\,y = {b^2};\,\,z = {c^2}\,\left( {a;\,\,b;\,\,c\, \in Z} \right)$

Ta có:

$\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right) = \left( {{a^2}{b^2} + {a^2} + {b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right) = \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {ab - 1} \right)}^2}} \right]\left( {{c^2} + 1} \right)$

$ = \left[ {{{\left( {ac + bc} \right)}^2} + {{\left( {ab - 1} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {abc - c} \right)}^2}} \right]$

Áp dụng các đẳng thức ${x^2} + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy$ và ${x^2} + {y^2} = {\left( {x - y} \right)^2} + 2xy$ có:

Thứ 1: ${\left( {ac + bc} \right)^2} + {\left( {ab - 1} \right)^2} = {\left( {ab + bc + ca - 1} \right)^2} - 2\left( {ac + bc} \right)\left( {ab - 1} \right)$

$ = {\left( {ab + bc + ca - 1} \right)^2} - 2\left( {{a^2}bc + {b^2}ac - ac - bc} \right)$

Thứ 2: ${\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {abc - c} \right)^2} = {\left( {a + b + c - abc} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right)\left( {abc - c} \right)$

$ = {\left( {a + b + c - abc} \right)^2} + 2\left( {{a^2}bc + {b^2}ac - ac - bc} \right)$

$ \Rightarrow {\left( {ac + bc} \right)^2} + {\left( {ab - 1} \right)^2} + {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {abc - c} \right)^2} = {\left( {ab + bc + ca - 1} \right)^2} + {(a + b + c - abc)^2}$

Vậy $\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\left( {z + 1} \right)$ là tổng của hai số chính phương.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

Toán

Văn

Tiếng Anh

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Toán

Toán

Toán

Toán

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Hà Tĩnh có đáp án

🔥 Học sinh cũng đã học

Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Trường THCS Nghĩa Mai (Nghệ An) có đáp án

Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Trường THCS Lý Sơn (Hà Nội) có đáp án

Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Trường THCS Gia Quất (Hà Nội) Tháng 4/2026 có đáp án

Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Trường THCS Nguyễn Trường Tộ (Hà Nội) Tháng 4/2026 có đáp án

Đề khảo sát định hướng vào 10 năm 2026 Trường THCS Hợp Thành (Thanh Hóa) có đáp án

Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 Trường THCS Quang Tiến (Nghệ An) có đáp án

Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 Trường THCS Hải Hòa (Nghệ An) có đáp án

Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 Trường THCS Hoằng Sơn 1 (Thanh Hóa) lần 3 có đáp án

Danh sách câu hỏi:

a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 2)(2 - y) = 8\\\sqrt {11 - 4(x - y)} + {x^2}{y^2} + 1 = 3xy.\end{array} \right.\) b) Giải phương trình \(\sqrt {{x^2} + 3x + 11} - \sqrt {x + 2} = 2x - 2.\)

a) Tìm tất cả các số thực \(x\) để \(p = \frac{5}{{x - \sqrt x + 2}}\) là số nguyên. b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\) lớn hơn 1 thì \(A = {n^{2024}} + {n^{2023}} + {n^4} - n + 1\) không phải là số nguyên tố.

Cho các số thực \[a,\,\,b,\,\,c\] thỏa mãn \(a > b > c;\,\,ab + bc + ca > 0\) và \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{a - c}} + \frac{5}{{2\sqrt {ab + bc + ca} }}\).

Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số chính phương. Chứng minh rằng \(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\left( {z + 1} \right)\) luôn viết được dưới dạng tổng của hai số chính phương.

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 2)(2 - y) = 8\\\sqrt {11 - 4(x - y)} + {x^2}{y^2} + 1 = 3xy.\end{array} \right.\)

b) Giải phương trình \(\sqrt {{x^2} + 3x + 11} - \sqrt {x + 2} = 2x - 2.\)

a) Tìm tất cả các số thực \(x\) để \(p = \frac{5}{{x - \sqrt x + 2}}\) là số nguyên.

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\) lớn hơn 1 thì \(A = {n^{2024}} + {n^{2023}} + {n^4} - n + 1\) không phải là số nguyên tố.

Cho các số thực \[a,\,\,b,\,\,c\] thỏa mãn \(a > b > c;\,\,ab + bc + ca > 0\) và \(a + b + c = 1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{a - c}} + \frac{5}{{2\sqrt {ab + bc + ca} }}\).