Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2025 THCS Chuyên Hà Nội Amsterdam (Hà Nội) Tháng 5 lần 2 có đáp án

Số học sinh tham gia điều tra là \(1 + 5 + 9 + 5 = 20\)

Bảng tần số tương đối ghép nhóm

Các kết quả xảy ra của phép thử là đồng khả năng

Không gian mẫu của phép thử là \(\Omega  = \left\{ {1;2;3;...;29;30} \right\}\)

\( \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = 30\)

Các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(2;3;5;7;11;13;17;19;23;29\)

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 10\)

Xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{10}}{{30}} = \frac{1}{3}\).

Vậy \(A = 16\) tại \(x = 4\).

2) Với \(x > 0,x \ne 9\), ta có:

\(B = \frac{{2x - 3}}{{x - 3\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }}\)\( = \frac{{2x - 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)\( = \frac{{2x - 3 - \sqrt x  + 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)\( = \frac{{2x - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)\( = \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 3}}\)

3) Với \(x > 0,x \ne 9\), ta có: \(A - B = \frac{x}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 3}}\)\( = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}\)\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  - 3}}\)

Vì \({\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x > 0,x \ne 9\) nên \(A - B < 0\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} \ne 0\\\sqrt x  - 3 < 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x < 9\end{array} \right.\)

Vậy để \(A - B < 0\) thì \(0 < x < 9;x \ne 1\).

Đặt \(AM = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Ta có \({S_{ABCD}} = 100{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\) nên \(AB = BC = CD = DA = 10{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Do đó \(BM = 10 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Tứ giác \(BMHN\) có \(\widehat B = \widehat {BMH} = \widehat {BNH} = 90^\circ \) nên tứ giác \(BMHN\) là hình chữ nhật.

Do đó \(HM = BN = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\), \(MB = HN = 10 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC\) là phân giác \(\widehat {BAC}\), \(CA\) là phân giác \(\widehat {BCD}\)

Suy ra \(\widehat {MAH} = \widehat {NCD} = 45^\circ \)

Do đó \(\Delta MAH\) vuông cân tại \(M\) và \(\Delta NHC\) vuông cân tại \(N\)

Suy ra \(MH = MA = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\), \(NH = NC = 10 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Ta có \[{S_{DMN}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{AMD}} + {S_{BMN}} + {S_{CND}}} \right)\]\( = 100 - \frac{1}{2}\left( {AM.AD + BM.BN + CN.CD} \right)\)

\( = 100 - \frac{1}{2}\left[ {10x + \left( {10 - x} \right)x + 10\left( {10 - x} \right)} \right]\)\( = 100 - \frac{1}{2}\left( {10x + 10x - {x^2} + 100 - 10x} \right)\)

\( = 100 - \frac{1}{2}\left( { - {x^2} + 10x + 100} \right)\)\( = \frac{1}{2}{x^2} - 5x + 50\)\( = \frac{1}{2}\left( {{x^2} - 10x + 100} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + 75} \right]\)

Vì \({\left( {x - 5} \right)^2} \ge 0\)

\({\left( {x - 5} \right)^2} + 75 \ge 75\)

\(\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + 75} \right] \ge \frac{{75}}{2}\)

\({S_{DMN}} \ge \frac{{75}}{2}\)

Dấu  xảy ra khi \(x = 5\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \({S_{DMN}} = \frac{{75}}{2}\) khi \(x = 5\)

Hay \(AM = 5{\rm{ m}}\)

Xét \(\Delta AMH\) vuông tại \(H\) nên \(AH = \sqrt {M{A^2} + M{H^2}}  = \sqrt {{5^2} + {5^2}}  = 5\sqrt 2 {\rm{ m}}\)

Vậy điểm \(H\) nằm trên \(AC\) cách \(A\) một đoạn bằng \(5\sqrt 2 {\rm{ m}}\) thì diện tích phần trồng hoa \(DMN\) là nhỏ nhất và bằng \(\frac{{75}}{2}{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).

Số tiền phải trả cho \(4\)km đầu tiên là: \(700000\)đồng

Số tiền phải trả từ km thứ \(5\) đến km thứ \(40\) là: \(36.23\,\,000 = 828\,000\) (đồng)

Số tiền phải trả từ km thứ \(41\) đến km thứ \(42\) là \(2.17\,\,000 = 34\,\,000\)(đồng)

Vậy số tiền công ty phải trả khi thuê một xe 1,4 tấn để vận chuyển hàng là:

\(700\,000 + 828\,\,000 + 34\,\,000 = 1\,\,562\,\,000\)(đồng)

Gọi số sản phẩm mỗi ngày đội sản xuất theo kế hoạch là: \(x\)(sản phẩm, \(x \in \mathbb{N}*\))

Khi đó, số sản phẩm đội sản xuất mỗi ngày trong thực tế là: \(x + 5\) (sản phẩm)

Thời gian theo kế hoạch để đội sản xuất được \(75\) sản phẩm  \(\frac{{75}}{x}\) (ngày)

Thời gian trong thực tế mà đội sản xuất được \(80\)sản phẩm là: \(\frac{{80}}{{x + 5}}\) (ngày)

Theo đề, ta có phương trình:  \(\frac{{75}}{x} - \frac{{80}}{{x + 5}} = 1\)

\(\frac{{75.\left( {x + 5} \right)}}{{x.\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{80x}}{{x.\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{x.\left( {x + 5} \right)}}{{x.\left( {x + 5} \right)}}\)

\(75x + 375 - 80x = {x^2} + 5x\)

\({x^2} + 10x - 375 = 0\)

\({x^2} + 25x - 15x - 375 = 0\)

\(\left( {x + 25} \right)\left( {x - 15} \right) = 0\)

\(x + 25 = 0\) hoặc \(x - 15 = 0\)

\(x =  - 25\) (ktm)  hoặc \(x = 15\) (tm)

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày đội sản xuất phải làm \(15\) sản phẩm.