(2,5 điểm)

Một công ty cần giao những kiện hàng đến địa điểm cách công ty 42km. Công ty này đã thuê một đơn vị vận tải chở số hàng này đi giao. Cho biết bảng giá vận tải như sau:

Loại Xe	4km đầu tiên (đồng)	km thứ 5 đến km thứ 40 (đồng/1km)	Từ km thứ 40 trở đi (đồng/1km)
Xe 500kg	300 000 đ	18 000 đ	12 000 đ
Xe 750kg	400 000 đ	19 000 đ	13 000 đ
Xe 1 tấn	600 000 đ	22 000 đ	16 000 đ
Xe 1,4 tấn	700 000 đ	23 000 đ	17 000 đ

Hãy tính số tiền công ty phải trả khi thuê một xe 1,4 tấn để vận chuyển hàng.

Đặt \(AM = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Ta có \({S_{ABCD}} = 100{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\) nên \(AB = BC = CD = DA = 10{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Do đó \(BM = 10 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Tứ giác \(BMHN\) có \(\widehat B = \widehat {BMH} = \widehat {BNH} = 90^\circ \) nên tứ giác \(BMHN\) là hình chữ nhật.

Do đó \(HM = BN = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\), \(MB = HN = 10 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC\) là phân giác \(\widehat {BAC}\), \(CA\) là phân giác \(\widehat {BCD}\)

Suy ra \(\widehat {MAH} = \widehat {NCD} = 45^\circ \)

Do đó \(\Delta MAH\) vuông cân tại \(M\) và \(\Delta NHC\) vuông cân tại \(N\)

Suy ra \(MH = MA = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\), \(NH = NC = 10 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Ta có \[{S_{DMN}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{AMD}} + {S_{BMN}} + {S_{CND}}} \right)\]\( = 100 - \frac{1}{2}\left( {AM.AD + BM.BN + CN.CD} \right)\)

\( = 100 - \frac{1}{2}\left[ {10x + \left( {10 - x} \right)x + 10\left( {10 - x} \right)} \right]\)\( = 100 - \frac{1}{2}\left( {10x + 10x - {x^2} + 100 - 10x} \right)\)

\( = 100 - \frac{1}{2}\left( { - {x^2} + 10x + 100} \right)\)\( = \frac{1}{2}{x^2} - 5x + 50\)\( = \frac{1}{2}\left( {{x^2} - 10x + 100} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + 75} \right]\)

Vì \({\left( {x - 5} \right)^2} \ge 0\)

\({\left( {x - 5} \right)^2} + 75 \ge 75\)

\(\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + 75} \right] \ge \frac{{75}}{2}\)

\({S_{DMN}} \ge \frac{{75}}{2}\)

Dấu  xảy ra khi \(x = 5\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \({S_{DMN}} = \frac{{75}}{2}\) khi \(x = 5\)

Hay \(AM = 5{\rm{ m}}\)

Xét \(\Delta AMH\) vuông tại \(H\) nên \(AH = \sqrt {M{A^2} + M{H^2}}  = \sqrt {{5^2} + {5^2}}  = 5\sqrt 2 {\rm{ m}}\)

Vậy điểm \(H\) nằm trên \(AC\) cách \(A\) một đoạn bằng \(5\sqrt 2 {\rm{ m}}\) thì diện tích phần trồng hoa \(DMN\) là nhỏ nhất và bằng \(\frac{{75}}{2}{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).

Diện tích xung quanh của cây lăn sơn là \(2\pi Rh = 2\pi .5.23 = 230\pi  \approx 722,2\left( {c{m^2}} \right)\)

Với diện tích tường cần sơn là \(3100\,c{m^2}\) thì cây lăn sơn đã lăn khoảng: \(3100:722,2 = 4,29\)(vòng)

Mà sau khi lăn \(1000\) vòng thì cây sơn tường có thể bị hỏng. Vậy bạn An cần mua ít nhất một cây lăn sơn tường